p
i
(
q
j
)
выбирает свою
i
-ю (
j
-ю) чистую стратегию (
i
= 1
,
2
, . . . , m
;
j
= 1
,
2
, . . . , n
).
При использовании смешанных стратегий игроки по возможно-
сти стремятся увеличить свои
средние выигрыши
, которые, будучи
записанными в матричной форме, имеют вид
p
T
Aq, p
T
Bq.
При этом
множества смешанных стратегий игроков образуют симплексы раз-
мерности
m
−
1
и
n
−
1
соответственно. Сказанное кратко выразим
в форме включений
p
2
Σ
p
,
q
2
Σ
q
, где, напомним, симплекс — это
Σ
p
=
n
p
:
p
>
0
,
m
P
i
=1
p
i
= 1
o
.
Ситуацией
равновесия по Нэшу
в смешанных стратегиях называ-
ется пара
(
p , q
)
, удовлетворяющая условию
(
8
p, q
)
p
T
Aq
6
p
T
Aq , p
T
Bq
6
p
T
Bq .
В игре всегда существует хотя бы одна ситуация равновесия в
смешанных стратегиях [1, 2]. Цель настоящей работы — разработка
игрового
алгоритма поиска одного из равновесий. Под этим понима-
ется многошаговая схема, моделирующая процесс игры как поочеред-
ный выбор своих стратегий ее участниками, приводящий к равнове-
сию по Нэшу.
Метод поиска равновесия.
Поиск равновесия игры сведем к ре-
шению следующей многоэкстремальной задачи математического про-
граммирования. Требуется найти глобальный максимум целевой функ-
ции
F
(
p, u, q, v
) =
p
T
(
A
+
B
)
q
−
u
−
v
→
max
p,u,q,v
(1)
при ограничениях
p
T
B
6
ue
T
, Aq
6
ve
0
, p
2
Σ
p
, q
2
Σ
q
.
(2)
Очевидна следующая
Теорема 1.
Глобальный максимум целевой функции
(1)
на множе-
стве
(2)
, имеющий значение, равное нулю, достигается лишь в точ-
ках
(
p , u , q , v
)
, отвечающих ситуациям равновесия игры
(
p , q
)
, в
которых величины
v , u
— средние выигрыши игроков 1 и 2 соответ-
ственно
.
Сформулированный результат дает основание для рассмотрения
следующей игры двух лиц, в которой участники при выборе своих
стратегий
(
p, u
)
и
(
q, v
)
руководствуются целевыми функциями
p
T
(
A
+
B
)
q
−
u
→
max
p,u
:
p
T
B
6
ue
T
,p
2
Σ
p
(3)
и
p
T
(
A
+
B
)
q
−
v
→
max
q,v
:
Aq
6
ve,q
2
Σ
q
(4)
соответственно.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
55
