Т-схемы для математического моделирования генерации завихренности на гладких профилях в вихревых методах

Аннотация

Предложены новые численные схемы решения граничного интегрального уравнения, решаемого в вихревых методах вычислительной гидродинамики при моделировании плоского обтекания гладких профилей. В их основе переход от традиционно рассматриваемых сингулярных интегральных уравнений первого рода с ядром Гильберта к уравнениям второго рода с ограниченным или абсолютно интегрируемым ядром относительно интенсивности вихревого слоя. Для их решения применяется метод Галеркина. Показано, что при аппроксимации границы профиля многоугольником можно построить схемы первого и второго порядка точности, рассматривая кусочно-постоянное или кусочно-линейное (разрывное или непрерывное) распределение решения по панелям. Приведены необходимые формулы для вычисления компонент матрицы и правой части системы линейных алгебраических уравнений --- дискретного аналога интегрального уравнения. Они пригодны для описания генерации завихренности при моделировании обтекания как одиночного профиля, так и системы профилей, в том числе подвижных и/или деформируемых. Построенные схемы могут быть использованы в рамках метода вязких вихревых доменов или иных модификаций вихревых методов, поскольку касаются лишь вопроса вычисления конвективных скоростей среды вблизи профиля и не связаны с методами моделирования диффузии завихренности

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (проект № 075-15-2020-808)

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Марчевский И.К., Сокол К.С., Измайлова Ю.А. Т-схемы для математического моделирования генерации завихренности на гладких профилях в вихревых методах. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2022, № 6 (105), с. 33--59. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2022-6-33-59

Литература

[1] Cottet G.-H., Koumoutsakos P.D. Vortex methods: theory and practice. Cambridge Univ. Press, 2000.

[2] Lewis R.I. Vortex element methods for fluid dynamic analysis of engineering systems. Cambridge Univ. Press, 1991.

[3] Branlard E. Wind turbine aerodynamics and vorticity-based methods. Cham, Springer, 2017. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-55164-7

[4] Головкин М.А., Головкин В.А., Калявкин В.М. Вопросы вихревой гидромеханики. М., ФИЗМАТЛИТ, 2009.

[5] Mimeau C., Mortazavi I. A review of vortex methods and their applications: from creation to recent advances. Fluids, 2021, vol. 6, no. 2, art. 68. DOI: https://doi.org/10.3390/fluids6020068

[6] Leonard A. Vortex methods for flow simulation. J. Comput. Phys., 1980, vol. 37, iss. 3, pp. 289--335. DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9991(80)90040-6

[7] Sarpkaya T. Computational methods with vortices --- the 1988 Freeman scholar lecture. J. Fluids Eng., 1989, vol. 111, iss. 1, pp. 5--52.DOI: https://doi.org/10.1115/1.3243601

[8] Дынникова Г.Я. Аналог интегралов Бернулли и Коши --- Лагранжа для нестационарного вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости. Изв. РАН. МЖГ, 2000, № 1, с. 31--41.

[9] Дынникова Г.Я. О присоединенной массе в модели вязкой несжимаемой жидкости. ДАН, 2019, т. 488, № 5, с. 493--497. DOI: https://doi.org/10.31857/S0869-56524885493-497

[10] Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., Янус, 1995.

[11] Дынникова Г.Я. Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье --- Стокса. ДАН, 2004, т. 399, № 1, с. 42--46.

[12] Kempka S.N., Glass M.W., Peery J.S., et al. Accuracy considerations for implementing velocity boundary conditions in vorticity formulations. SANDIA report SAND-96-0583, 1996.

[13] Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа. Труды МИАН СССР, 1960, т. 59, с. 5--36.

[14] Morino L. Helmholtz decomposition revisited: vorticity generation and trailing edge condition. Comput. Mech., 1986, vol. 1, no. 1, pp. 65--90. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00298638

[15] Wu J.C., Thompson J.F. Numerical solutions of time-dependent incompressible Navier --- Stokes equations using an integro-differential formulation. Comput. Fluids, 1973, vol. 1, iss. 2, pp. 197--215. DOI: https://doi.org/10.1016/0045-7930(73)90018-2

[16] Марков В.В., Сизых Г.Б. Эволюция завихренности в жидкости и газе. Изв. РАН. МЖГ, 2015, № 2, с. 8--15.

[17] Ogami Y., Akamatsu T. Viscous flow simulation using the discrete vortex model --- the diffusion velocity method. Comput. Fluids, 1991, vol. 19, no. 3-4, pp. 433--441. DOI: https://doi.org/10.1016/0045-7930(91)90068-S

[18] Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М., Мир, 1973.

[19] Марчевский И.К. Разработка и реализация Т-схем численного решения граничных интегральных уравнений в математических моделях вихревых методов вычислительной гидродинамики. Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2021.

[20] Кузьмина К.С., Марчевский И.К., Морева В.С. Определение интенсивности вихревого слоя при моделировании вихревыми методами обтекания профиля потоком несжимаемой среды. Математическое моделирование, 2017, т. 29, № 10, с. 20--34.

[21] Кузьмина К.С., Марчевский И.К. О влиянии вихревого слоя и точечных вихрей при приближенном решении граничного интегрального уравнения в двумерных вихревых методах вычислительной гидродинамики. Прикладная математика и механика, 2019, т. 83, № 3, с. 495--508. DOI: https://doi.org/10.1134/S003282351903010X

[22] Morgenthal G. Aerodynamic analysis of structures using high-resolution vortex particle methods. Ph.D. thesis. Univ. of Cambridge, 2002.

[23] Milani G. Concepts of adaptivity for vortex particle methods and applications to bluff body aerodynamics. Ph.D. thesis. Bauhaus-Universitat Weimar, 2018.

[24] Lin H., Vezza M. Implementation of a vortex method for the prediction of separated incompressible flows. Aero Report no. 9425. Univ. of Glasgow, 1994.

[25] Taylor I., Vezza M. Prediction of unsteady flow around square and rectangular section cylinders using a discrete vortex method. J. Wind. Eng. Ind. Aerodyn., 1999, vol. 82, iss. 1-3, pp. 247--269. DOI: https://doi.org/10.1016/S0167-6105(99)00038-0

[26] Kuzmina K., Marchevsky I., Soldatova I., et al. On the scope of Lagrangian vortex methods for two-dimensional flow simulations and the POD technique application for data storing and analyzing. Entropy, 2021, vol. 23, no. 1, art. 118. DOI: https://doi.org/10.3390/e23010118

[27] Kuzmina K., Marchevsky I., Ryatina E. Exact solutions of boundary integral equation arising in vortex methods for incompressible flow simulation around elliptical and Zhukovsky airfoils. J. Phys.: Conf. Ser., 2019, vol. 1348, art. 012099. DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1348/1/012099