Обобщение формулы Аккермана для некоторого класса многомерных динамических систем с векторным входом

Аннотация

Получена компактная аналитическая формула, определяющая полное множество решений задачи модального управления по состоянию для широкого класса многомерных динамических систем с векторным входом, у которых число состояний нацело делится на число управляющих входов, а индекс управляемости равен частному от этого деления. Формула является обобщением на системы с векторным входом формулы Аккермана, применяемой к многомерным системам со скалярным входом. В основу получения обобщенной формулы Аккермана положены оригинальные понятия обобщенной канонической формы Люенбергера и операции блочного транспонирования матриц. Для наиболее удобного расчета регулятора исходная система с векторным входом приводится к обобщенной канонической форме Люенбергера с помощью двух последовательных преобразований подобия. Доказана лемма, демонстрирующая компактный аналитический вид матрицы обратного преобразования. Эквивалентность переходов позволяет получить полное счетно-бесконечное параметризованное множество решений рассматриваемой задачи модального управления. Его параметризация обеспечивается за счет выбора блочных коэффициентов матричного полинома, определитель которого соответствует заданному скалярному характеристическому полиному. В случаях, когда матричный полином, участвующий в параметризации, не раскладывается на множители, обобщенная формула Аккермана содержит решения задачи модального управления, которые не могут быть получены с использованием существующего декомпозиционного метода. Представлены примеры, демонстрирующие как пригодность предлагаемой формулы к аналитическому конструированию модальных регуляторов по состоянию для систем с векторным входом, так и ее преимущества по сравнению с декомпозиционным методом

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Лапин А.В., Зубов Н.Е., Пролетарский А.В. Обобщение формулы Аккермана для некоторого класса многомерных динамических систем с векторным входом. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2023, № 4 (109), с. 18--38. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2023-4-18-38

Литература

[1] Bass R.W., Gura I. High order system design via state-space considerations. Proc. Joint Automatic Control Conf., 1965, vol. 3, pp. 311--318.

[2] Ackermann J. Der Entwurf linearer Regelungssysteme im Zustandsraum. Automatisierungstechnik, 1972, vol. 20, iss. 1-2, pp. 297--300. DOI: https://doi.org/10.1524/auto.1972.20.112.297

[3] Микрин Е.А., Зубов Н.Е., Лапин А.В. и др. Аналитическая формула вычисления регулятора для линейной SIMO-системы. Дифференциальные уравнения и процессы управления, 2020, № 1, с. 1--11.

[4] Hasan M., Namin A., Negre C. Toeplitz matrix approach for binary field multiplication using quadrinomials. IEEE Trans. Very Large Scale Integr. VLSI Syst., 2012, vol. 20, iss. 3, pp. 449--458. DOI: https://doi.org/10.1109/TVLSI.2011.2106524

[5] Lapin A.V., Zubov N.E. Generalization of Bass --- Gura formula for linear dynamic systems with vector control. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, 2020, no. 2 (89), pp. 41--64. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2020-2-41-64

[6] Tian G., Xiaoli L., Shuguang Z., et al. An algorithm to determine the index of structural controllability for network system. ICISCE, 2016, pp. 819--823. DOI: https://doi.org/10.1109/ICISCE.2016.179

[7] Nordstrom K., Norlander H. On the multi input pole placement control problem. Proc. 36th IEEE Conf. on Decision and Control, 1997, vol. 5, pp. 4288--4293. DOI: https://doi.org/10.1109/CDC.1997.649511

[8] Zubov N.E., Vorob’eva E.A., Mikrin E.A., et al. Synthesis of stabilizing spacecraft control based on generalized Ackermann’s formula. J. Comput. Syst. Sci. Int., 2011, vol. 50, no. 1, pp. 93--103. DOI: https://doi.org/10.1134/S1064230711010199

[9] Luenberger D.G. Canonical form for linear multivariable systems. IEEE Trans. Automat. Contr., 1967, vol. 12, iss. 3, pp. 290--293. DOI: https://doi.org/10.1109/TAC.1967.1098584

[10] Gantmacher F.R. The theory of matrices. Chelsea, 2000.

[11] Лапин А.В., Зубов Н.Е. Реализация в среде MATLAB аналитических алгоритмов модального управления по состоянию и по выходу. Инженерный журнал: наука и инновации, 2020, № 1. DOI: https://doi.org/10.18698/2308-6033-2020-1-1950

[12] Zubov N.E., Lapin A.V., Mikrin E.A. Synthesis of decoupling laws for controlling the angular motion of landing module with solid-fuel landing engine minimizing the transient time. J. Comput. Syst. Sci. Int., 2013, vol. 52, no. 3, pp. 480--490. DOI: https://doi.org/10.1134/S1064230713030179

[13] Зубов Н.Е., Лапин А.В., Рябченко В.Н. О связи модальной управляемости по выходу динамической MIMO-системы и вида матриц с желаемыми спектрами. Дифференциальные уравнения и процессы управления, 2021, № 2, с. 1--12.

[14] Lapin A.V., Zubov N.E. Parametric synthesis of modal control with output feedback for descent module attitude stabilization. RusAutoCon, 2019. DOI: https://doi.org/10.1109/RusAutoCon.2019.8867744

[15] Zubov N.E., Lapin A.V., Ryabchenko V.N., et al. A robust control algorithm of a descent vehicle angular motion in the Earth’s atmosphere. Appl. Sci., 2022, vol. 12, iss. 2, art. 731. DOI: https://doi.org/10.3390/app12020731

[16] Zubov N.E., Lapin A.V., Ryabchenko V.N. Analytical synthesis of a modal controller by output vector for attitude control of a descent module during its descent in the Earth’s atmosphere. Russ. Aeronaut., 2019, vol. 62, no. 3, pp. 401--416. DOI: https://doi.org/10.3103/S1068799819030073