Стохастическое восстановление квадратично интегрируемых функций

Работа посвящена решению проблемы стохастического восстановления квадратично интегрируемых относительно меры Лебега функций, заданных на действительной прямой по наблюдениям за ними с аддитивным белым гауссовым шумом, для случая дискретного времени. Проблема является задачей непараметрического (бесконечномерного) оценивания. Обоснована процедура оптимального восстановления, в среднеквадратическом смысле, относительно произведения меры Лебега и гауссовой меры. Описан алгоритм восстановления таких квадратично интегрируемых функций. Установлено, что построенная процедура непараметрического восстановления квадратично интегрируемой функции дает несмещенное и состоятельное восстановление неизвестной функции. Это новый результат. Кроме того, для гладких восстанавливаемых функций предложена и обоснована почти оптимальная процедура восстановления, которая дает неулучшаемую (по порядку величины) оценку зависимости числа ортогональных функций от числа наблюдений. Погрешность построенной почти оптимальной процедуры восстановления по отношению к оптимальной процедуре восстановления составляет не более 50 %

Литература

[1] Вапник В.Н., ред. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. М., Наука, 1984.

[2] Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М., Наука, 1979.

[3] Дарховский Б.С. Новый подход к стохастической задаче восстановления. Теория вероятностей и ее применения, 2004, т. 49, № 1, с. 36--53. DOI: https://doi.org/10.4213/tvp235

[4] Дарховский Б.С. О стохастической задаче восстановления. Теория вероятностей и ее применения, 1998, т. 43, № 2, с. 357--364. DOI: https://doi.org/10.4213/tvp1471

[5] Дарховский Б.С. Стохастическая задача восстановления функционалов. Проблемы передачи информации, 2008, т. 44, № 4, с. 20--32.

[6] Darkhovskiy B. Non asymptotic minimax estimation of functions with noisy observations. Commun. Stat. Simul. Comput., 2012, vol. 41, iss. 6, pp. 787--803. DOI: https://doi.org/10.1080/03610918.2012.625326

[7] Стратонович Р.Л. Эффективность методов математической статистики в задачах синтеза алгоритмов восстановления неизвестной функции. Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1969, № 1, с. 32--46.

[8] Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М., Сов. радио, 1975.

[9] Ченцов Н.Н. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. М., Наука, 1972.

[10] Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М., Наука, 1979.

[11] Tsybakov A.B. Introduction to nonparametric estimation. Springer Series in Statistics. New York, NY, Springer, 2009. DOI: https://doi.org/10.1007/b13794

[12] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976.

[13] Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М., Наука, 1984.

[14] Ширяев А.Н. Вероятность. М., Наука, 1980.

[15] Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск, Наука, 1997.