Численное решение задачи контактного взаимодействия элементов твэла с помощью mortar-метода и метода декомпозиции области

Представлены алгоритмы решения осесимметричных задач контактного взаимодействия нескольких термоупругих тел на несогласованных сетках. Численное решение задач теплопроводности и теории упругости выполнено с использованием метода конечных элементов. Для учета контактного взаимодействия применены mortar-метод и метод декомпозиции области. При использовании mortar-метода возникает необходимость решения плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений с нулевым блоком на главной диагонали. Для ее численного решения использован модифицированный метод последовательной верхней релаксации (MSSOR), позволяющий свести решение системы уравнений для всех контактирующих тел к последовательному решению систем уравнений для каждого тела по отдельности. На примере задачи, моделирующей термомеханические процессы в твэле, продемонстрированы результаты работы алгоритмов, проанализированы особенности напряженно-деформированного состояния конструкции, выполнено сравнение результатов, полученных при использовании mortar-метода и метода декомпозиции области. В рассмотренной задаче расчетная область состояла из 10 топливных таблеток и участка оболочки. Результаты анализа показали, что количественные характеристики напряженно-деформированного состояния системы тел, полученные двумя методами, достаточно близки друг к другу. Это подтверждает корректность применения указанных алгоритмов для решения подобных задач

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты РФФИ № 18-01-00252 и № 18-31-20020)

Литература

[1] Babuska I. The finite element method with penalty. Math. Comp., 1973, vol. 27, no. 122, pp. 221--228. DOI: https://doi.org/10.2307/2005611

[2] Le Tallec P., Sassi T. Domain decomposition with nonmatching grids: augmented Lagrangian approach. Math. Comp., 1995, vol. 64, iss. 212, pp. 1367--1396. DOI: https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1995-1308457-5

[3] Галанин М.П., Глизнуцина П.В., Лукин В.В. и др. Варианты реализации метода множителей Лагранжа для решения двумерных контактных задач. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2015, № 89. 27 c. URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2015-89

[4] Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Разработка алгоритма контактного взаимодействия на основе альтернирующего метода Шварца. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, спец. вып. "Прикладная математика", 2011, с. 134--141.

[5] Галанин М.П., Крупкин А.В., Кузнецов В.И. и др. Моделирование контактного взаимодействия системы термоупругих тел методом Шварца для многомерного случая. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2016, № 12 (681), с. 9--20. DOI: http://dx.doi.org/10.18698/0536-1044-2016-12-9-20

[6] Wriggers P. Computational contact mechanics. Berlin, Heidelberg, Springer, 2006. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-32609-0

[7] Lamichhane B.P. Higher order mortar finite elements with dual Lagrange multiplier spaces and applications. Universitat Stuttgrat, 2006.

[8] Toselli A., Widlund O. Domain decomposition methods --- algorithms and theory. Springer Series in Computational Mathematics, vol. 34. Berlin, Heidelberg, Springer, 2005. DOI: https://doi.org/10.1007/b137868

[9] Eck C., Wohlmuth B. Convergence of a contact-Neumann iteration for the solution of two-body contact problems. Math. Methods Appl. Sci., 2003, vol. 13, no. 8, pp. 1103--1118. DOI: https://doi.org/10.1142/S0218202503002830

[10] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М., Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.

[11] Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л., Изд-во Ленинградского ун-та, 1978.

[12] Wohlmuth B.I. A mortar finite element method using dual spaces for the Lagrange multiplier. SIAM J. Numer. Anal., 2000, vol. 38, iss. 3, pp. 989--1012. DOI: https://doi.org/10.1137/S0036142999350929

[13] Аронов П.С., Родин А.С. Математическое моделирование контактного взаимодействия двух упругих тел с криволинейными границами на несогласованных сетках. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2019, № 87. 27 c. DOI: http://doi.org/10.20948/prepr-2019-87

[14] Станкевич И.В., Аронов П.С. Математическое моделирование контактного взаимодействия двух упругих тел с помощью mortar-метода. Математика и математическое моделирование, 2018, № 3, с. 26--44. DOI: https://doi.org/10.24108/mathm.0318.0000112

[15] Aronov P.S., Galanin M.P., Rodin A.S. Mathematical modeling of the contact interaction of fuel elements using the mortar method. Mathematica Montisnigri, 2020, vol. XLVIII, pp. 43--57. DOI: http://doi.org/10.20948/mathmontis-2020-48-5

[16] Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1989.