Решение двухфазной задачи Стефана в энтальпийной постановке со сглаживанием коэффициентов

Для моделирования процессов теплопереноса с фазовыми переходами используется классическая энтальпийная модель Стефана, учитывающая фазовые превращения среды с поглощением и выделением скрытой теплоты изменения агрегатного состояния. Представлено решение двухфазной задачи Стефана для одномерного квазилинейного параболического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. Предложен способ размазывания дельта-функции Дирака с использованием сглаживания разрывных коэффициентов гладкими функциями, опирающийся на использование интеграла ошибок и нормального распределения Гаусса с автоматизированным выбором интервала их сглаживания по искомой функции (температуре). Разрывные коэффициенты заменены ограниченными гладкими функциями температуры. Для численного решения использованы метод конечных разностей и метод конечных элементов с автоматизированным выбором параметра размазывания и сглаживания коэффициентов на каждом временном слое. Результаты численных расчетов сопоставлены с решением двухфазной автомодельной задачи Стефана --- с математической моделью процесса образования ледяного покрова водоема. Проведено численное моделирование растепляющего эффекта установки дополнительных свай на существующее свайное поле. Температура на дневной поверхности основания сооружения задана с учетом амплитуды колебания температуры воздуха, принятой по данным метеостанции Якутска. Представлены результаты численных расчетов для железобетонных свай, установленных в летний период в пробуренные скважины большого диаметра с использованием цементно-песчаных растворов с температурой 25 °С. Получены распределения температуры грунта для различных моментов времени

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект РНФ № 19-11-00230)

Литература

[1] Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1965, т. 5, № 5, с. 816–827.

[2] Будак Б.М., Соболева Е.Н., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1965, т. 5, № 5, с. 828--840.

[3] Danilyuk I.I. On the Stefan problem. Russian Math. Surveys, 1985, vol. 40, no. 5, pp. 157--223. DOI: https://doi.org/10.1070/RM1985v040n05ABEH003684

[4] Васильев В.И. Численное интегрирование дифференциальных уравнений с нелокальными граничными условиями. Якутск, ЯФ СО АН СССР, 1985.

[5] Васильев В.И., Максимов А.М., Петров Е.Е. и др. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. M., Наука, 1996.

[6] Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. M., Либроком, 2009.

[7] Крылов Д.А., Сидняев Н.И., Федотов А.А. Математическое моделирование распределения температурных полей. Математическое моделирование, 2013, т. 25, № 7, с. 3--27.

[8] Vasilyeva M.V., Stepanov S.P., Sirditov I.K. Reduced dimension model for heat transfer of ground heat exchange in permafrost. J. Phys.: Conf. Ser., 2017, vol. 937, art. 012056. DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/937/1/012056

[9] Stepanov S., Vasilyeva M., Vasil’ev V. Generalized multiscale discontinuous Galerkin method for solving the heat problem with phase change. J. Comput. Appl. Math., 2018, vol. 340, pp. 645--652. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2017.12.004

[10] Sivtsev P.V., Kolesov A.E., Sirditov I.K., et al. The numerical solution of thermo-poroelastoplasticity problems. AIP Conf. Proc., 2016, vol. 1773, art. 110010. DOI: https://doi.org/10.1063/1.4965014

[11] Stepanov S.P., Vasilyeva M.V., Vasilyev V.I. Numerical simulation of the convective heat transfer on high-performance computing systems. AIP Conf. Proc., 2016, vol. 1773, art. 110011. DOI: https://doi.org/10.1063/1.4965015

[12] Васильев В.И., Васильева М.В., Сирдитов И.К. и др. Математическое моделирование температурного режима грунтов оснований фундаментов в условиях многолетнемерзлых пород. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2017, № 1 (70), с. 142--159. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2017-1-142-159

[13] Vasilyeva M., Stepanov S., Spiridonov D., et al. Multiscale Finite Element Method for heat transfer problem during artificial ground freezing. J. Comput. Appl. Math., 2020, vol. 371, art. 112605. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2019.112605

[14] Vasil’ev V., Vasilyeva M. An accurate approximation of the two-phase Stefan problem with coefficient smoothing. Mathematics, 2020, vol. 8, iss. 11, art. 1924. DOI: https://doi.org/10.3390/math8111924

[15] Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М., Наука, 1971.