Асимптотика собственных значений оператора Лапласа с двумя разбегающимися возмущениями на плоскости (случай произвольной кратности)

Аннотация

Лапласиан с парой разбегающихся возмущений исследован в двумерном пространстве. Под возмущениями понимаются вещественные финитные непрерывные потенциалы. Изучен дискретный спектр возмущенного лапласиана при увеличении расстояния между потенциалами. Рассмотрено наличие его собственных значений и собственных функций, которые им соответствуют, при различных случаях кратностях предельного собственного значения. Первым случаем рассматриваемой кратности является двукратное предельное собственное значение. Под этим понимается простое и изолированное собственное значение лапласиана с первым потенциалом, а также простое и изолированное собственное значение лапласиана со вторым потенциалом. Второй рассматриваемый случай --- случай произвольной кратности предельного собственного значения. Под этим понимается собственное значение лапласиана с первым потенциалом произвольной кратности и собственное значение лапласиана со вторым потенциалом также произвольной кратности. В обоих случаях (кратности два и произвольной) построены первые члены формальных асимптотических разложений собственных значений и собственных функций возмущенного лапласиана, которые соответствуют данным собственным значениям. Продемонстрирована сложная экспоненциально-степенная структура построенных асимптотик. В указанных случаях показана симметрия относительно нуля первых поправок асимптотик собственных значений возмущенного лапласиана

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Головина А.М. Асимптотика собственных значений оператора Лапласа с двумя разбегающимися возмущениями на плоскости (случай произвольной кратности). Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2023, № 3 (108), с. 4--19. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2023-3-4-19

Литература

[1] Davies E.B. The twisting trick for double well Hamiltonians. Commun. Math. Phys., 1982, vol. 85, no. 3, pp. 471--479. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01208725

[2] Hoegh-Krohn R., Mebknout M. The 1/r expansion for the critical multiple well problem. Commun. Math. Phys., 1983, vol. 91, no. 1, pp. 66--73. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01206050

[3] Klaus M., Simon B. Coupling constant thresholds in nonrelativistic quantum mechanics. I. Short-range two-body case. Ann. Phys., 1980, vol. 130, iss. 2, pp. 251--281. DOI: https://doi.org/10.1016/0003-4916(80)90338-3

[4] Morgan J.D. III, Simon B. Behavior of molecular potential energy curves for large nuclear separations. Int. J. Quantum. Chem., 1980, vol. 17, iss. 6, pp. 1143--1166. DOI: https://doi.org/10.1002/qua.560170609

[5] Graffi S., Grecchi V., Harrell E.M. II, et al. The 1/R expansion for H₂⁺ analyticity, summability, and asymptotics. Ann. Phys., 1985, vol. 165, iss. 2, pp. 441--483. DOI: https://doi.org/10.1016/0003-4916(85)90305-7

[6] Harrell E.M. Double wells. Commun. Math. Phys., 1980, vol. 75, no. 3, pp. 239--261. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01212711

[7] Klaus M. Some remarks on double-wells in one and three dimensions. Ann. Inst. Henri Poincare, 1981, vol. 34, no. 4, pp. 405--417.

[8] Reity O.K. Asymptotic expansions of the potential curves of the relativistic quantum-mechanical two-Coulomb-center problem. Proceeding of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2002, vol. 43-2, pp. 672--675.

[9] Klaus M., Simon B. Binding of Schrodinger particles through conspiracy of potential wells. Ann. Inst. Henri Poincare, 1979, vol. 30, no. 2, pp. 83--87.

[10] Borisov D. Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbations. Math. Phys. Anal. Geom., 2007, vol. 10, no. 2, pp. 155--196.DOI: https://doi.org/10.1007/s11040-007-9028-1

[11] Borisov D. Distant perturbation of the Laplacian in a multi-dimensional space. Ann. Henri Poincare, 2007, vol. 8, no. 7, pp. 1371--1399. DOI: https://doi.org/10.1007/s00023-007-0338-4

[12] Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations. J. Math. Sci., 2013, vol. 189, no. 3, pp. 342--364. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-013-1192-1

[13] Борисов Д.И., Головина А.М. О резольвентах периодических операторов с разбегающимися возмущениями. Уфимский математический журнал, 2012, т. 4, № 2, с. 65--73.

[14] Головина А.М. Исследование спектральных свойств операторов с разбегающимися возмущениями (обзор). Математика и математическое моделирование, 2015, № 2, с. 1--22. DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859

[15] Борисов Д.И., Головина А.М. О возникновении резонансов из кратного собственного значения оператора Шредингера в цилиндре с разбегающимися возмущениями. Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры, 2019, т. 163, с. 3--14.

[16] Борисов Д.И., Коныркулжаева М.Н. О бесконечной системе резонансови собственных значений с экспоненциальными асимптотиками, порожденных разбегающимися возмущениями. Уфимский математический журнал, 2020, т. 12, № 4, с. 3--18. DOI: http://dx.doi.org/10.13108/2020-12-4-3

[17] Borisov D.I., Golovina A.M. On finitely many resonances emerging under distant perturbations in multi-dimensional cylinders. J. Math. Anal. Appl., 2021, vol. 496, no. 2, art. 124809. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2020.124809

[18] Головина А.М. О поведении дискретного спектра оператора Лапласа с двумя разбегающимися возмущениями на плоскости в случае двукратного предельного собственного значения. Математика и математическое моделирование, 2022, т. 2, с. 1--13. DOI: https://doi.org/10.24108/mathm.0222.0000301

[19] Головина А.М. Асимптотика собственных значений периодического оператора с двумя разбегающимися возмущениями на оси. Математика и математическое моделирование, 2022, т. 1, с. 21--30. DOI: https://doi.org/10.24108/mathm.0122.0000300

[20] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 2004.