Неограниченные решения одномерных законов сохранения с несимметричной степенной функцией потока

Аннотация

Рассмотрена задача Коши для квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка в случае одной пространственной переменной. Функция потока предполагается несимметричной степенной с единственной точкой перегиба в нуле, а начальные условия --- неограниченными экспоненциального и степенного вида. Методом характеристик построены кусочно-гладкие обобщенные энтропийные решения. Эти решения определены во всей полуплоскости t > 0, имеют счетное число линий разрыва и меняют знак при переходе через каждую линию разрыва. Характеристиками являются прямые линии, а линии разрыва получаются как огибающие характеристик с использованием преобразования Лежандра. Для линий разрыва получены явные формулы. В случае степенного начального условия линиями разрыва являются гиперболы, в случае экспоненциальной начальной функции --- логарифмические кривые. Для продолжения решения за линии разрыва использовано условие Ранкина --- Гюгонио. В силу свойств функции потока условие возрастания энтропии выполняется автоматически. Таким образом, полученные решения являются обобщенными энтропийными по построению. Доказана односторонняя периодичность построенного решения по пространственной переменной в случае экспоненциального начального условия

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (код проекта FSFN-2024-0004)

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Гаргянц Л.В. Неограниченные решения одномерных законов сохранения с несимметричной степенной функцией потока. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2024, № 5 (116), с. 4--14. EDN: QKCUJL

Литература

[1] Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными. Математический сборник, 1970, т. 81, № 2, с. 228--255.

[2] Кружков С.Н. Обобщенные решения задачи Коши в целом для нелинейных уравнений первого порядка. Докл. АН СССР, 1969, т. 187, № 1, с. 29--32.

[3] Бахвалов С.Н., ред. Труды С.Н. Кружкова. М., ФИЗМАТЛИТ, 2000.

[4] Горицкий А.Ю., Панов Е.Ю. О локально ограниченных обобщенных энтропийных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка. Тр. МИАН им. В.А. Стеклова, 2002, т. 236, № 5, с. 120--133.

[5] Goritsky A.Yu., Panov E.Yu. Example of nonuniqueness of entropy solutions in the class of locally bounded functions. Russ. J. Math. Phys., 1998, vol. 6, no. 4, pp. 492--494. EDN: MWPUKZ

[6] Гаргянц Л.В. О локально ограниченных решениях задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка со степенной функцией потока. Мат. заметки, 2018, т. 104, вып. 2, с. 191--199. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm11626

[7] Gargyants L.V. Example of nonexistence of a positive generalized entropy solution of a Cauchy problem with unbounded positive initial data. Russ. J. Math. Phys., 2017, vol. 24, no. 3, pp. 412--414. DOI: https://doi.org/10.1134/S106192081703013X

[8] Горицкий А.Ю., Гаргянц Л.В. О неединственности неограниченных решений задачи Коши для скалярных законов сохранения. Тр. семинара им. И.Г. Петровского, 2019, № 32, с. 111--133.

[9] Dafermos C.M. Hyperbolic conservation laws in continuum physics. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Berlin, Heidelberg, Springer, 2010. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-49451-6

[10] Serre D. Systems of conservation laws 1, 2. Cambridge Univ. Press, 1999, 2000.

[11] Evans L.C. Partial differential equations. AMS, 1998.

[12] Lax P. Hyperbolic partial differential equations. AMS, 2006.

[13] Олейник О.А. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций. Докл. АН СССР, 1954, т. 95, № 3, с. 451--454.

[14] Олейник О.А. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. Успехи мат. наук, 1959, т. 14, № 2, с. 165--170.

[15] Гаргянц Л.В., Горицкий А.Ю., Панов Е.Ю. Построение неограниченных разрывных решений скалярных законов сохранения при помощи преобразования Лежандра. Мат. сборник, 2021, т. 212, № 4, с. 29--44. DOI: https://doi.org/10.4213/sm9383

[16] Горицкий А.Ю. Построение неограниченного энтропийного решения задачи Коши со счетным числом ударных волн. Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика, механика, 1999, № 2, с. 3--6.

[17] Гаргянц Л.В. Локально ограниченные решения одномерных законов сохранения. Дифференциальные уравнения, 2016, т. 52, № 4, с. 481--489. EDN: VTOWJJ. DOI: https://doi.org/10.1134/S0374064116040075

[18] Gargyants L.V. Unbounded solutions of one-dimensional conservation laws with asymmetrical flux function. AIP Conf. Proc., 2023, vol. 2849, iss. 1, art. 200006. DOI: https://doi.org/10.1063/5.0163005

[19] Гаргянц Л.В. О задаче Коши для одномерного закона сохранения с начальными условиями, совпадающими со степенной или экспоненциальной функцией на бесконечности. Дифференциальные уравнения, 2022, т. 58, № 3, с. 309--318. EDN: BXLRJB

[20] Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., МЦНМО, 2012.