Стабилизация и спектр в операторно-дифференциальных уравнениях

Изучена задача Коши для линейных операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве. Рассмотрен случай неограниченного самосопряженного неотрицательного оператора, особое внимание уделено оператору Лапласа с краевым условием Дирихле. Исследована смешанная задача для волнового уравнения, введен энергетический класс решений и доказано представление решений в виде интеграла Бохнера - Стилтьеса. Установлена связь между спектральными свойствами оператора Лапласа и стабилизацией при больших значениях времени решений смешанной задачи для волнового уравнения. Исследовано асимптотическое поведение по времени функции локальной энергии для различных типов спектра. В случае ограниченных областей, когда оператор Лапласа имеет дискретный спектр, доказано, что решение, локальная энергия которого стремится к нулю, равно нулю тождественно. Для произвольных областей в случае оператора с непустым точечным спектром доказано существование гладких и финитных начальных функций, для которых функция локальной энергии не стремится к нулю. Показано, что для оператора с непрерывным спектром стремится к нулю среднее по времени функции локальной энергии. Для случая абсолютно непрерывного спектра установлено стремление к нулю самой функции локальной энергии.

Литература

[1] Lax P.D. Hyperbolic Partial Differential Equations. Amer. Math. Society, Providence, 2006.

[2] Filinovskiy A.V. Stabilization and spectrum in the problems of wave propagation. Qualitative properties of solutions to differential equations and related topics of spectral analysis, ed. by I.V. Astashova, Moscow, UNITY-DANA Publ., 2012, pp. 289-463, 647 p.

[3] Temnov A.N. Small vibrations of an ideal non-homogeneous self-gravitated fluid. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2002, no. 2, pp. 25-35 (in Russ.).

[4] Krein S.G. Linear differential equations in a Banach space. Moscow, Nauka Publ., 1967.

[5] Hille E., Phillips R.S. Functional analysis and semi-groups. Amer. Math. Soc. Coll. Publ., vol. 31. Providence, 1957.

[6] Nemytskiy V.V., Vainberg M.M., Gusarova R.S. Operator differential equations, Mat. analiz. Itogi nauki, Moscow, VINITI Publ., 1966, pp. 165-235 (in Russ.).

[7] Vishik M.I. Cauchy problem for the equations with operator coefficients, mixed boundary problem for the systems of differential equations and approximative method of its solving. Sb. Math., 1956, vol. 39, no. 1, pp. 51-148 (in Russ.).

[8] Vishik M.I., Ladyzhenskaya O.A. Boundary value problem for partial differential equations and some classes of operator equations. Uspekhi Mat. Nauk [Russian Mathematical Surveys], 1956, vol. 11, no. 6, pp. 41-97 (in Russ.).

[9] Ladyzhenskaya O.A. On the non-stationary operator equations and their applications to linear problems of mathematical physics. Sb. Math., 1958, vol. 45, no. 2, pp. 123-158 (in Russ.).

[10] Krein M.G. On some questions concerned with the Lyapounov ideas in the stability theory. Uspekhi Mat. Nauk [Russian Mathematical Surveys], 1948, vol. 3, no. 3, pp. 166-169 (in Russ.).

[11] Filinovskiy A.V. Stabilization of solutions of the wave equation in domains with non-compact boundaries. Sb. Math., 1998, vol. 189, no. 8, pp. 141-160 (in Russ.).

[12] Filinovskiy A.V. Stabilization of solutions of the first mixed problem for Helmholtz equation in the domains with star-shaped boundaries. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 1999, no. 2, pp. 22-33 (in Russ.).

[13] Filinovskiy A.V. Estimates of solutions of the first mixed problemfor the wave equation in domains with non-compact boundaries. Sb. Math., 2002, vol. 193, no. 9, pp. 107-138 (in Russ.).

[14] Gilbarg D., Trudinger N.S. Elliptic partial differential equations of second order. Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, Springer-Verlag, 1983.

[15] Kato T. Perturbation theory for linear operators. Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, Springer-Verlag, 1995.

[16] Muckenhaupt C.S. Almost periodic functions and vibrating systems. J. Math. and Phys., 1929, vol. 8, pp. 163-198.

[17] Riesz F., Szokefalvy-Nagy B. Lecons d’analyse fonctionelle. Budapest, Akademiai Kiado, 1995.

[18] Sobolev S.L. On the almost-periodicity of solutions of the wave equation. P. I. Dokl. Akad. Nauk, vol. 48, no. 8, 1945, pp. 570-573 (in Russ.).

[19] Sobolev S.L. On the almost-periodicity of solutions of the wave equation. P. II. Dokl. Akad. Nauk, vol. 48, no. 9, 1945, pp. 646-648 (in Russ.).

[20] Wiener N. The Fourier integral and certain of its applications. Dover, 1933.

[21] Lustemik L.A., Sobolev V.I. Elements of functional analysis. Moscow, Nauka Publ., 1965 (in Russ.).