К вопросу о симметричности решений линейных матричных дифференциальных уравнений

Рассмотрена проблема симметричности решений задачи Коши для линейного матричного дифференциального уравнения, коэффициенты которого - функции, аналитические в некоторой области комплексной плоскости. Выведена формула, описывающая производные высших порядков любого решения такого уравнения. На основе полученной формулы доказаны достаточные условия симметричности решения задачи Коши для линейного матричного дифференциального уравнения. Проверка этих условий сведена к анализу свойств элементов специальной последовательности матриц. Показано, что при выполнении определенных условий такую проверку можно проводить не для бесконечного числа элементов последовательности, а лишь для первых нескольких ее элементов. Приведен пример линейного матричного дифференциального уравнения, для которого симметричность решения задачи Коши доказана с помощью предложенного условия. Полученные результаты могут быть использованы при решении различных задач теории управления.

Литература

[1] Varga A. On solving periodic differential matrix equations with applications to periodic system norms computation // 44th IEEE Conference on Decision and Control 2005 and 2005 European Control Conference CDC-ECC ’05. 2005. P. 6545-6550.

[2] Kyrchei I. Explicit formulas for determinantal representations of the Drazin inverse solutions of some matrix and differential matrix equations // Applied Mathematics and Computation. 2013. Vol. 219. Iss. 14. P. 7632-7644.

[3] Lang N., Mena H., Saak J. On the benefits of the LDL factorization for large-scale differential matrix equation solvers // Linear Algebra and its Applications. 2015. Vol. 480. P. 44-71.

[4] Mori T., Fukuma N., Kuwahara M. On the Lyapunov matrix differential equation // IEEE Transactions on Automatic Control. 1986. Vol. 31. P. 868-869.

[5] Davis J.M., Gravagne I.A., Marks R.J., Ramos A. Algebraic and dynamic Lyapunov equations on time scales // Proceedings 42nd Southeastern Symposium on System Theory, Tyler, TX. 2010. P. 329-334.

[6] Zhang J., Liu J. New estimates for the solution of the Lyapunov matrix differential equation // Electronic journal of linear algebra. 2010. Vol. 20. P. 6-19.

[7] Yongliang Zhu, Pagilla P.R. Bounds on the solution of the time-varying linear matrix differential equation P(t) = AH(t)P(t) + P(t)A(t) + Q(t) // 43rd IEEE Conference on Decision and Control. 2004. Vol. 5. P. 5392-5396.

[8] Hai-Jun Peng, Zhi-Gang Wu, Wan-Xie Zhong. Fourier expansion based recursive algorithms for periodic Riccati and Lyapunov matrix differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2011. Vol. 235. Iss. 12. P. 3571-3388.

[9] Nguyen T., Gajic Z. Solving the matrix differential Riccati equation: a Lyapunov equation approach // IEEE Transactions on Automatic Control. 2010. Vol. 55. Iss. 1. P. 191-194.

[10] Gajic Z., Koskie S., Coumarbatch C. On the singularly perturbed matrix differential Riccati equation // Proceedings IEEE Conference Decision and Control. 2005. P. 3638-3644.

[11] Kittipeerachon K., Hori N., Tomita Y. Exact discretization of a matrix differential Riccati equation with constant coefficients // IEEE Transactions on Automatic Control. 2009. Vol. 54. Iss. 5. P. 1065-1068.

[12] Garrett C.K., Ren-Cang Li. GIP integrators for Matrix Riccati Differential Equations // Applied Mathematics and Computation. 2014. Vol. 241. P. 283-297.

[13] Verde-Star L. On linear matrix differential equations // Advances in Applied Mathematics. 2007. Vol. 39. Iss. 3. P. 329-344.

[14] Bin Z., Guangren D. Closed form solutions for matrix linear systems using double matrix exponential functions // Control Conference CCC-2007. 2007. P. 123-127.

[15] Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: Гос.-научно-техническое изд-во Украины, 1939. 719 c.

[16] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

[17] Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Издательство иностранной литературы, 1958. 474 с.

[18] Фетисов Д.А. Решение терминальных задач для многомерных аффинных систем на основе преобразования к квазиканоническому виду // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2014. № 5. С. 16-31.

[19] Фетисов Д.А. Об одном методе решения терминальных задач для аффинных систем // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журнал. 2013. № 11. DOI: 10.7463/1113.0622543 URL: http://technomag.bmstu.ru/doc/622543.html