Исследование решений уравнений Левинсона – Смита

Исследовано поведение решений уравнения Левинсона – Смита. В случае невозмущенной системы трение предполагают положительным. Рассмотрено поведение траекторий по отношению к одному локализирующему множеству, т. е. подмножеству, содержащему все инвариантные компакты. Более точно, показано, что это множество положительно инвариантно. Получены некоторые условия, достаточные для того, чтобы любая траектория рано или поздно попадала в него. В случае возмущенной системы предположено, что трение ограничено снизу некоторым положительным числом, а возмущение является ограниченной непрерывной функцией. Аналогично рассмотрено одно локализирующее множество в терминах неавтономных систем и доказана его положительная инвариантность.

Литература

[1] Levinson N., Smith O.K. A general equation for relaxation oscillations. Duke Mathematical Journal, 1942, vol. 9 (2), pp. 382-403.

[2] Levinson N. On the existence of periodic solutions for second order differential equations with a forcing term. J. of Math. and Phys., 1943, vol. 22, pp. 41-48.

[3] Lefschetz S. Differential equations: Geometric theory. N.Y. - London, Interscience Publ., 1957. 374 p.

[4] Villari G. On the qualitative behavior of solutions of Li’enard equation. J. Differential Equations, 1987, vol. 67 (2), pp. 269-277.

[5] Lijuna Y., Xianwu Z. An upper bound for the amplitude of limit cycles in Li’enard systems with symmetry. J. Differential Equations, 2015, vol. 258 (8), pp. 2701-2710.

[6] Turner N., McClintock P.V.E., Stefanovska A. Maximum amplitude of limit cycles in Li’enard systems. Phys. Rev. E, 2015, vol. 91, p. 012927.

[7] Sabatini M. On the period function of Li’enard systems. J. Differential Equations, 1999, vol. 152 (2), pp. 467-487.

[8] Burton T.A., Townsend C.G. On the generalized Li’enard equation with forcing function. J. Differential Equations, 1968, vol. 4 (4), pp. 620-633.

[9] Krishchenko A.P. Localization of limit cycles. Differential Equations, 1995, vol. 31 (11), pp. 1826-1833.

[10] Krishchenko A.P. Estimations of domains with cycles. Comput. Math. Appl., 1997, vol. 34 (2-4), pp. 325-332.

[11] Krishchenko A.P. Localization of invariant compact sets of dynamical systems. Differential Equations, 2005, vol. 41 (12), pp. 1669-1676. DOI: 10.1007/s10625-006-0003-6

[12] Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of nonlinear time-varying systems. Int. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 2008, vol. 24 (5), pp. 1599-1604.

[13] Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Localization of invariant compact sets of nonautonomous systems. Differential Equations, 2009, vol. 45 (1), pp. 46-52.

[14] Starkov K.E., Coria L.N. Global dynamics of the Kirschner - Panetta model for the tumor immunotherapy. Nonlin. Anal.: Real World Appl., 2013, vol. 14 (3), pp. 1425-1433.

[15] Starkov K.E., Villegas A. On some dynamical properties of a seven-dimensional cancer model with immunotherapy. Int. J. Bifur. Chaos, 2014, vol. 24 (02), p. 1450020.

[16] Krishchenko A.P., Starkov K.E. Dynamical analysis of Raychaudhuri equations based on the localization method of compact invariant sets. Int. J. Bifur. Chaos, 2014, vol. 24 (11), p. 1450136.