Построение методом подобия фундаментального решения задачи Дирихле для уравнения типа Келдыша в полупространстве

Для эллиптического в полупространстве и вырождающегося на границе уравнения типа Келдыша методом подобия найдено автомодельное решение, являющееся аппроксимативной единицей в классе интегрируемых функций. Это решение представляет собой фундаментальное решение задачи Дирихле, т. е. решение задачи Дирихле с δ-функцией Дирака в граничном условии. Решение задачи Дирихле с произвольной функцией в граничном условии записывается в виде свертки этой функции с фундаментальным решением задачи Дирихле, если свертка существует. Для ограниченной и кусочно-непрерывной граничной функции свертка существует и записывается в виде интеграла, дающего классическое решение задачи Дирихле и являющегося обобщением интеграла Пуассона для уравнения Лапласа. В случае граничной функции, являющейся обобщенной функцией, свертка представляет собой обобщенное решение задачи Дирихле

Литература

[1] Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. 1951. Т. 77. № 2. C. 81–83.

[2] Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Изд-во Иностранной литературы, 1961. 208 с.

[3] Otway T.H. Dirichlet problem for elliptic-hyperbolic equations of Keldysh type. Berlin—Heidelberg: Springer-Verlag, 2012. 214 p.

[4] Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике (к 150-летию со дня рождения Софуса Ли) // Успехи математических наук. 1992. Т. 47. № 4. С. 83–144.

[5] Bluman G.W., Cole J.D. Similarity methods for differential equations. New York—Heidelberg—Berlin: Springer-Verlag, 1974. 333 p.

[6] Алгазин О.Д. Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения типа Трикоми — Келдыша в полупространстве // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5. С. 4–17. DOI: 10.18698/1812-3368-2016-5-4-17

[7] Парасюк Л.С., Парасюк I.Л. Властивості фундаментальних розвязків основних крайових задач для деяких диференціальних рівнянь другого порядку змішаного типу // Науковi записки. 1999. № 1. C. 126–129.

[8] Barros-Neto J., Gelfand I.M. Fundamental solutions for the Tricomi operator // Duke Math. J. 1999. Vol. 98. No. 3. P. 465–483. DOI: 10.1215/S0012-7094-99-09814-9

[9] Barros-Neto J., Gelfand I.M. Fundamental solutions for the Tricomi operator, II // Duke Math. J. 2002. Vol. 111. No. 3. P. 561–584. DOI: 10.1215/S0012-7094-02-11137-5

[10] Barros-Neto J., Gelfand I.M. Fundamental solutions for the Tricomi operator, III // Duke Math. J. 2005. Vol. 128. No. 1. P. 119–140. DOI: 10.1215/S0012-7094-04-12815-5

[11] Chen Sh. The fundamental solution of the Keldysh type operator // Science in China Series A: Mathematics. 2009. Vol. 52. Iss. 9. P. 1829–1843. DOI:10.1007/s11425-009-0069-8

[12] Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

[13] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. 470 c.

[14] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.

[15] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.