Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения типа Трикоми – Келдыша в полупространстве

Методом преобразования Фурье и методом подобия решена краевая задача Дирихле для многомерного обобщения уравнений Трикоми, Геллерстедта и Келдыша в полупространстве, в котором это уравнение эллиптично с краевым условием на граничной гиперплоскости, где уравнение вырождается. Решение представлено в виде интеграла с простым ядром, являющимся аппроксимативной единицей и автомодельным решением уравнения типа Трикоми - Келдыша. В частности, эта формула включает в себя и формулу Пуассона, дающую решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полупространстве. Если заданное граничное значение является обобщенной функцией медленного роста, то решение задачи Дирихле можно записать в виде свертки этой функции с ядром (если свертка существует).

Литература

[1] Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. 1951. Т. 77. № 2. С. 181-183.

[2] Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Изд-во Иностранной литературы, 1961. 208 с.

[3] Otway T.H. Dirichlet problem for elliptic-hyperbolic equations of Keldych type. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2012. 214 p.

[4] Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 296 с.

[5] Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. 344 с.

[6] Парасюк Л.С. Граничнi задачi для елiптичних диференцiальних рiвнянь, що вирождуються на границi областi // Украiньска академiя друкарства. Науковi записки. 1961. № 13. С. 65–75.

[7] Barros-Neto J., Gelfand I.M. Fundamental solutions for the Tricomi operator // Duke Math. J. 1999. Vol. 98(3). P. 465-483.

[8] Barros-Neto J., Gelfand I.M. Fundamental solutions for the Tricomi operator, II // Duke Math. J. 2002. Vol. 111 (3). P. 561-584.

[9] Barros-Neto J., Gelfand I.M. Fundamental solutions for the Tricomi operator, III // Duke Math. J. 2005. Vol. 128(1). P. 119-140.

[10] Barros-Neto J., Cardoso F. Bessel integrals and fundamental solutions for a generalized Tricomi operator // Journal of Functional Analysis. 2001. Vol. 183. P. 472-497. DOI: 10.1006/jfan.2001.3749

[11] Алгазин О.Д., Копаев А.В. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в многомерном бесконечном слое // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2015. № 1. С. 3-13. DOI: 10.18698/1812-3368-2015-1-3-13

[12] Алгазин О.Д., Копаев А.В. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в многомерном бесконечном слое // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 4. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812943 URL: http://mathmjournal.ru/doc/812943.html

[13] Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

[14] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

[15] Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 256 с.

[16] Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005. 256 с.