Задача о колебаниях двутавровой балки с закрепленным и шарнирно опертым концами

Исследована задача о периодических по времени решениях квазилинейного уравнения вынужденных колебаний двутавровой балки, один конец которой закреплен, а второй шарнирно оперт. Нелинейное слагаемое и правая часть уравнения являются периодическими по времени функциями. Решение ищется в виде ряда Фурье. Для построения ортонормированной системы изучена задача на собственные значения дифференциального оператора, соответствующего исходному уравнению. При исследовании асимптотики собственных значений задачи осуществлена оценка корней соответствующего трансцендентного уравнения. Получены условия, при которых ядро дифференциального оператора является конечномерным и обратный оператор вполне непрерывен на дополнении к ядру. Доказана лемма о существовании и регулярности решений соответствующей линейной задачи. При доказательстве регулярности исследованы суммы рядов Фурье. Доказана теорема о существовании и регулярности периодического решения, если нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонансности на бесконечности. При доказательстве теоремы про-ведена априорная оценка решений соответствующего операторного уравнения и применен принцип Лере --- Шаудера о неподвижной точке. Получены дополнительные условия, при которых найденное в основной теореме периодическое решение единственно

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (проект № 1.3843.2017/4.6)

Литература

[1] Ванько В.И. О собственных частотах колебаний проводов воздушных ЛЭП. Известия вузов. Энергетика, 1987, № 8, с. 7--12.

[2] Brezis H., Nirenberg L. Characterizations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1978, vol. 5, no. 2, pp. 225–325.

[3] Tanaka K. Infinitely many periodic solutions for the equation: II. Trans. Amer. Math. Soc., 1988, vol. 307, pp. 615–645. DOI: 10.1090/S0002-9947-1988-0940220-X

[4] Berti M., Biasco L. Forced vibrations of wave equations with nonmonotone nonlinearities. Annales de l I.H.P. Analyse non Lineaire, 2006, vol. 23, no. 4, pp. 439–474. DOI: 10.1016/j.anihpc.2005.05.004

[5] Berti M., Baldi P. Forced vibrations of a nongomogeneous string. SIAM J. Math. Anal., 2008, vol. 40, iss. 1, pp. 382–412. DOI: 10.1137/060665038

[6] Berti M., Bolle P. Cantor families of periodic solutions of wave equations with nonlinearities. Nonlinear Differ. Equ. Appl., 2008, vol. 15, iss. 1-2, pp. 247–276. DOI: 10.1007/s00030-007-7025-5

[7] Berti M., Biasco L., Procesi M. KAM for reversible derivative wave equations. Arch. Ration. Mech. Anal., 2014, vol. 212, iss. 3, pp. 905–955. DOI: 10.1007/s00205-014-0726-0

[8] Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами. Математический сборник, 2007, т. 198, № 7, с. 91–108.

[9] Ji S. Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with x-dependent coefficients. Calc. Var., 2008, vol. 32, iss. 2, pp. 137–153. DOI: 10.1007/s00526-007-0132-7

[10] Ji S. Periodic solutions for one dimensional wave equation with bounded nonlinearity. JDE, 2018, vol. 264, iss. 9, pp. 5527–5540. DOI: 10.1016/j.jde.2018.02.001

[11] Ji S., Li Y. Time periodic solutions to the one-dimensional nonlinear wave equation. Arch. Rational Mech. Anal., 2011, vol. 199, iss. 2, pp. 435–451. DOI: 10.1007/s00205-010-0328-4

[12] Ji S., Gao Y., Zhu W. Existence and multiplicity of periodic solutions for Dirichlet --- Neumann boundary value problem of a variable coefficient wave equation. Adv. Nonlinear Stud., 2016, vol. 16, iss. 4, pp. 765–773. DOI: 10.1515/ans-2015-5058

[13] Chen J. Periodic solutions to nonlinear wave equations with spatially dependent coefficients. Z. Angew. Math. Phys., 2015, vol. 66, iss. 5, pp. 2095–2107. DOI: 10.1007/s00033-015-0497-y

[14] Chen J., Zhang Z. Existence of periodic solutions to asymptotically linear wave equations in a ball. Calc. Var., 2017, vol. 56, iss. 58, pp. 3–27. DOI: 10.1007/s00526-017-1154-4

[15] Yuan X. Quasi-periodic solutions of completely resonant nonlinear wave equations. J. Differ. Equ., 2006, vol. 230, iss. 1, pp. 213–274. DOI: 10.1016/j.jde.2005.12.012

[16] Eliasson L.H., Grebert B., Kuksin S.B. KAM for the nonlinear beam equation. Geom. Funct. Anal., 2016, vol. 26, iss. 6, pp. 1588–1715. DOI: 10.1007/s00039-016-0390-7

[17] Elishakoff I., Johnson V. Apparently the first closed-form solution of vibrating inhomogeneous beam with a tip mass. J. Sound Vib., 2005, vol. 286, iss. 4-5, pp. 1057–1066. DOI: 10.1016/j.jsv.2005.01.050

[18] Elishakoff I., Pentaras D. Apparently the first closed-form solution of inhomogeneous elastically restrained vibrating beams. J. Sound Vib., 2006, vol. 298, iss. 1-2, pp. 439–445. DOI: 10.1016/j.jsv.2006.05.028

[19] Wang Y., Si J. A result on quasi-periodic solutions of a nonlinear beam equation with a quasi-periodic forcing term. Z. Angew. Math. Phys., 2012, vol. 63, iss. 1, pp. 189–190. DOI: 10.1007/s00033-011-0172-x

[20] Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного уравнения колебаний балки с однородными граничными условиями. Дифференциальные уравнения, 2012, т. 48, № 6, с. 814–825.

[21] Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного уравнения вынужденных колебаний балки. Известия РАН. Сер. Матем., 2015, т. 79, № 5, с. 215–238. DOI: 10.4213/im8250

[22] Yamaguchi M. Existence of periodic solutions of second order nonlinear evolution equations and applications. Funkcialaj Ekvacioj, 1995, vol. 38, pp. 519–538.

[23] Рудаков И.А. О периодических решениях одного уравнения колебаний балки. Дифференциальные уравнения, 2018, т. 54, № 5, с. 691–700.

[24] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., ФИЗМАТЛИТ, 2010.

[25] Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. М., Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 1983.

[26] Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Наука, 1980.