Переходные вероятности марковского процесса на отрезке, лежащем в четверти плоскости

Рассмотрен марковский процесс рождения и гибели квадратичного типа. Состояниями случайного процесса являются точки отрезка, лежащего в четверти плоскости. Назовем четвертью плоскости множество векторов с целыми неотрицательными координатами. Процесс задан инфинитезимальными характеристиками или плотностями переходных вероятностей. Эти характеристики определяются квадратичной функцией от координат --- функцией на точках отрезка с целыми координатами. Граничные точки отрезка являются поглощающими, в этих точках случайный процесс останавливается. Исследован критический случай, когда скачки процесса равновероятны в момент выхода из точки. Получены выражения для переходных вероятностей марковского процесса в виде спектрального ряда. Использована двухмерная экспоненциальная производящая функция переходных вероятностей и двухмерная производящая функция переходных вероятностей. Первая и вторая системы обыкновенных дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей марковского процесса сводятся к уравнениям в частных производных второго порядка смешанного типа для двойной производящей функции. Полученная система линейных уравнений решена методом разделения переменных. Найденный спектр является дискретным. Собственные функции выражаются через гипергеометрические функции. Коэффициенты построенного частного решения --- ряда Фурье --- найдены с помощью разложения экспоненты. Необходимое разложение экспоненты построено через известные в теории специальных функций суммы функциональных рядов

Литература

[1] Fayolle G., Iasnogorodski R., Malyshev V. Random walks in the quarter plane. Probability Theory and Stochastic Modelling, vol. 40. Cham, Springer, 2017. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-50930-3

[2] Gnedenko B.V., Pavlov I.V., Ushakov I.A. Statistical reliability engineering. Wiley, 1999.

[3] McQuarrie D.A., Jachimowcki C.J., Russel M.E. Kinetic of small systems. II. J. Chem. Phys., 1964, vol. 40, iss. 10, pp. 2914--2921. DOI: https://doi.org/10.1063/1.1724926

[4] Anderson W.J. Continuous-time Markov chains. Springer Series in Statistics (Probability and its Applications). New York, Springer, 1991. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-3038-0

[5] Kalinkin A.V., Mastikhin A.V. A limit theorem for a Weiss epidemic process. J. Appl. Probab., 2015, vol. 52, iss. 1, pp. 247--257. DOI: https://doi.org/10.1239/jap/1429282619

[6] Калинкин А.В. Предельные теоремы для случайного блуждания в полуплоскости с перескоком границы. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2016, № 6 (69), с. 16--31. DOI: http://dx.doi.org/10.18698/1812-3368-2016-6-16-31

[7] Valent G. An integral transform involving Hein function and a related eigenvalue problem. SIAM J. Math. Anal., 1986, vol. 17, iss. 3, pp. 688--703. DOI: https://doi.org/10.1137/0517049

[8] Калинкин А.В. Вероятность остановки на границе случайного блуждания в четверти плоскости и ветвящийся процесс с взаимодействием частиц. Теория вероятностей и ее применения, 2002, т. 47, № 3, с. 452--474.

[9] Kotz S., Johnson N.L., eds. Two-sex problem. In: Encyclopedia of Statistical Sciences. Vol. 9. Wiley, 1988.

[10] Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М., URSS, 2019.

[11] Калинкин А.В. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием. УMН, 2002, т. 57, № 2, с. 23--84. DOI: https://doi.org/10.4213/rm496

[12] Kalinkin A.V., Mastikhin A.V. On the separating variables method for Markov death-process equations. J. Theor. Probab., 2019, vol. 32, no. 1, pp. 163--182. DOI: https://doi.org/10.1007/s10959-017-0795-8

[13] Lederman W., Reuter G.E.H. Spectral theory for the differential equations of simple birth and death processes. Phil. Trans. A, 1954, vol. 246, iss. 914, pp. 321--369. DOI: https://doi.org/10.1098/rsta.1954.0001

[14] Letessier J., Valent G. Exact eigenfunctions and spectrum for several cubic and quartic birth and death processes. Phys. Lett. Ser. A, 1985, vol. 108, no. 5--6, pp. 245--247. DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601(85)90738-8

[15] Letessier J., Valent G. Some exact solutions of the Kolmogorov boundary value problem. Approx. Theor. Appl., 1988, vol. 4, no. 2, pp. 97--117.

[16] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М., Наука, 1973.

[17] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 3. Специальные функции. Дополнительные главы. М., ФИЗМАТЛИТ, 2003.

[18] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1971.

[19] Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М., Наука, 1977.

[20] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М., Либроком, 2010.