Квазистатический "уход" маятника при возмущении точки подвеса высокочастотной полигармонической вибрацией с некратными частотами

Рассмотрена задача динамического поведения плоского маятника при полигармонической вибрации. Полагается, что углы между вертикальной осью координат и направлениями воздействий отдельных гармонических составляющих в общем случае различны. В соответствии с известным подходом решение осуществляется в два приближения. При этом движение маятника раскладывается на две составляющие: 1) "медленную" с частотой порядка собственной; 2) "быструю" с частотой внешних воздействий. Вследствие некратности частот оно представляет собой, по существу, апериодический процесс. В связи с этим при выводе основных соотношений невозможно использовать эффективный прием осреднения решения на периоде быстрых колебаний. Разделение решения по частотам колебаний позволило получить уравнение, описывающее медленное движение и на его основании --- приближенную формулу для определения квазистатического перемещения маятника ("ухода"). Результат обобщен на систему с диссипацией энергии. Показано, что в окрестности квазистатического положения маятника возможна потеря устойчивости в результате параметрического резонанса на комбинационных частотах внешнего воздействия. Результаты иллюстрируются примером, в котором приближенное решение сравнивается с точным, полученным численным моделированием. Приведены результаты сравнения

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант РФФИ № 20-08-01076А)

Литература

[1] Ильин М.М., Колесников К.С., Саратов Ю.С. Теория колебаний. М., Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.

[2] Сейранян А.П., Ябуно Х., Цумото К. Неустойчивость и периодические движения физического маятника с колеблющейся точкой подвеса. ДАН, 2005, т. 404, № 2, с. 192--197.

[3] Seyranian A.P., Mailybaev A.A. Multiparameter stability with mechanical applications. World Scientific, 2004.

[4] Yabuno H., Miura M., Aoshima N. Bifurcation in an inverted pendulum with tilted high-frequency excitation: analytical and experimental investigations on the symmetry-breaking of the bifurcation. J. Sound Vib., 2004, vol. 273, iss. 3, pp. 493--513. DOI: https://doi.org/10.1016/S0022-460X(03)00507-8

[5] Челомей С.В. Нелинейные колебания с параметрическим возбуждением. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1977, № 3, с. 44--53.

[6] Челомей С.В. О динамической устойчивости прямого трубопровода, нагруженного переменной осевой силой при протекании через него пульсирующей жидкости. Изв. АН РФ. Механика твердого тела, 1998, № 6, с. 175--184.

[7] Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. Журнал экспер. и теор. физики, 1951, т. 21, № 5, с. 588--597.

[8] Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций. ДАН СССР, 1956, т. 110, № 3, с. 345--347.

[9] Челомей В.Н. Избранные труды. М., Машиностроение, 1989.

[10] Синельников А.В. Уходы маятника на вибрирующем основании в случае действия эллиптической вибрации. Изв. АН СССР. Механика, 1956, т. 110, № 3, с. 87--93.

[11] Боголюбов Н.Н., Садовников Б.И. Об одном варианте метода усреднения. Вестник МГУ. Сер. 3, физика, астрономия, 1961, № 3, с. 24--34.

[12] Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Наука, 1974.

[13] Chekurin L., Chekurin S. Physical fundamentals of oscillations. Frequency analysis of periodic motion stability. Cham, Springer, 2018. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-75154-2

[14] Стрижак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа "маятник". Алма-Ата, Наука, 1981.

[15] Челомей С.В. О двух задачах динамической устойчивости колебательных систем, поставленных академиками П.Л. Капицей и В.Н. Челомеем. Изв. РАН. Механика твердого тела, 1999, № 6, с. 159--166.

[16] Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрацией. ДАН СССР, 1983, т. 270, № 1, с. 62--67.

[17] Benaroya H. Mechanical vibration: analysis, uncertainties, and control. Prentice Hall, 2017.

[18] Иориш Ю.И. Виброметрия. М., Наука, 1963.