Принцип Сен-Венана в задачах нелокальной теории упругости

Аннотация

При моделировании конструкционных материалов приходится использовать модели, учитывающие структурные особенности на микроуровне. К таким моделям можно отнести модель нелокальной теории упругости Эрингена. Рассмотрено применение указанной модели в сравнении с классической моделью упругости. Главная особенность нелокальной модели состоит в том, что она учитывает дальние взаимодействия частиц сплошной среды, классическая постановка является ее частным случаем. При этом уравнения имеют интегродифференциальную форму, что в значительной степени усложняет получение аналитических решений. В связи с этим для поиска решений был применен метод конечных элементов с использованием изопараметрических конечных элементов. Здесь, как и в классической модели теории упругости, выполняются основные балансные соотношения. Однако полученные решения в значительной степени отличаются от классических, поскольку у таких решений проявляется кромочный эффект вблизи свободных границ области. Этот эффект, а также сохранение баланса сил продемонстрированы на примере выполнимости принципа Сен-Венана при растяжении прямоугольной пластины. Полученные в нелокальной постановке решения демонстрируют значительное снижение уровня растягивающего напряжения вблизи свободных границ и касательные напряжения в поперечном сечении

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России (проект № FSFN-2023-0012)

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Кувыркин Г.Н., Соколов А.А. Принцип Сен-Венана в задачах нелокальной теории упругости. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2023, № 4 (109), с. 4--17. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2023-4-4-17

Литература

[1] Thagadurai T.D., Manjubaashini N., Thomas S., et al. Nanostructured materials. Springer, 2020.

[2] Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М., Наука, 1975.

[3] Gopalakrishnan S., Narendar S. Wave propagation in nanostructures In: NanoScience and Technology. Cham, Springer, 2013. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-01032-8

[4] Eringen A.C. (eds). Nonlocal continuum field theories. New York, NY, Springer, 2002. DOI: https://doi.org/10.1007/978-0-387-22643-9

[5] Савельева И.Ю. Вариационная формулировка математической модели процесса стационарной теплопроводности с учетом пространственной нелокальности. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2022, № 2 (101), с. 68--86. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2022-2-68-86

[6] Савельева И.Ю. Двойственная вариационная модель стационарного процесса теплопроводности, учитывающая пространственную нелокальность. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2022, № 5 (104), с. 45--61. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2022-5-45-61

[7] Wen P.H., Huang X.J., Aliabadi M.H. Two dimensional nonlocal elasticity analysis by local integral equation method. Comput. Model. Eng. Sci., 2013, vol. 96, no. 3, pp. 199--225. DOI: https://doi.org/10.3970/cmes.2013.096.199

[8] Abdollahi R., Boroomand B. Benchmarks in nonlocal elasticity defined by Eringen’s integral model. Int. J. Solids Struct., 2013, vol. 50, iss. 18, pp. 2758--2771. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2013.04.027

[9] Abdollahi R., Boroomand B. On using mesh-based and mesh-free methods in problems defined by Eringen’s non-local integral model: issues and remedies. Meccanica, 2019, vol. 54, no. 11-12, pp. 1801--1822. DOI: https://doi.org/10.1007/s11012-019-01048-6

[10] Zienkiewicz O., Taylor R., Zhu J.Z. The finite element method. Elsevier, 2005.

[11] Bathe K.-J. Finite element procedures. Klaus-Jurgen Bathe, 2014.

[12] Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Yu., Sokolov A.A. Features of the software implementation of the numerical solution of stationary heat equation taking into account the effects of nonlocal finite element method. J. Phys.: Conf. Ser., 2019, vol. 1479, art. 012034. DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1479/1/012034

[13] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М., Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.

[14] Кувыркин Г.Н. Математическая модель нелокальной термовязкоупругой среды. Ч. 1. Определяющие уравнения. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2013, № 1 (48), с. 26--33.

[15] Polizzotto C. Nonlocal elasticity and related variational principles. Int. J. Solids Struct., 2001, vol. 38, iss. 42-43, pp. 7359--7380. DOI: https://doi.org/10.1016/S0020-7683(01)00039-7

[16] Pisano A.A., Sofi A., Fuschi P. Nonlocal integral elasticity: 2D finite element based solutions. Int. J. Solids Struct., 2009, vol. 46, iss. 21, pp. 3836--3849. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2009.07.009

[17] Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Yu., Sokolov A.A. 2D nonlocal elasticity: investigation of stress and strain fields in complex shape regions. Z. Angew. Math. Mech., 2023, vol. 103, iss. 3, art. e202200308. DOI: https://doi.org/10.1002/zamm.202200308