Гибридный характеристический метод решения задач газовой динамики на основе разрывного метода Галеркина

Аннотация

Представлен численный метод решения задач динамики сжимаемого совершенного невязкого газа в одно- и двумерной пространственных постановках. Метод использует подход разрывного метода Галеркина для аппроксимации решения по пространству и снос решения вдоль характеристик для интегрирования уравнений по времени. Такой подход позволяет избавиться от стандартной многостадийной процедуры метода Рунге --- Кутты и существенно уменьшить вычислительную сложность метода. Вместо интегрирования по времени применено интегрирование потоков по пространственной области зависимости на предыдущем временном слое. Представлено обобщение метода на двумерный случай для произвольной формы ячейки сетки. Проведены тестовые расчеты на ряде одно- и двумерных задач, имеющих как гладкое, так и разрывное решение. Тесты показали, что метод обладает вторым порядком точности при использовании кусочно-линейной реконструкции решения на ячейке и третьим порядком при использовании квадратных полиномов. Метод обладает высокой разрешающей способностью и малой диссипацией, позволяет разрешать газовые неустойчивости, такие как неустойчивость Рихтмайера --- Мешкова. Несмотря на высокий порядок точности, метод не требует применения специальных процедур монотонизации решения

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Лукин В.В. Гибридный характеристический метод решения задач газовой динамики на основе разрывного метода Галеркина. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2025, № 1 (118), с. 46--64. EDN: EGAMAE

Литература

[1] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М., Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.

[2] Lukin V., Postnov K., Shakura N. Modeling of the L1 point jet formation in binary star Her X1. Lobachevskii J. Math., 2024, vol. 45, no. 1, pp. 85--94. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080224010360

[3] Galanin M.P., Lukin V.V., Chechetkin V.M. 3D hydrodynamical simulation of accretion disk in binary star system using RKDG CFD solver. J. Phys.: Conf. Ser., 2018, vol. 1103, art. 012019. DOI: http://dx.doi.org/10.1088/1742-6596/1103/1/012019

[4] Shu C.-W., Qiu J. A comparison of troubled-cell indicators for Runge --- Kutta discontinuous Galerkin methods using weighted essentially nonoscillatory limiters. SIAM J. Sci. Comput., 2005, vol. 27, iss. 3, pp. 995--1013. DOI: https://doi.org/10.1137/04061372X

[5] Qiu J., Shu C.-W. Runge --- Kutta discontinuous Galerkin method using WENO limiters. SIAM J. Sci. Comput., 2005, vol. 26, iss. 3, pp. 907--929. DOI: https://doi.org/10.1137/S1064827503425298

[6] Qiu J.-X., Shu C.-W. Hermite WENO schemes and their application as limiters for Runge --- Kutta discontinuous Galerkin method: one-dimensional case. J. Comput. Phys., 2003, vol. 193, iss. 1, pp. 115--135. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2003.07.026

[7] Jiang G., Shu C.-W. Efficient implementation of weighted ENO schemes. J. Comput. Phys., 1996, vol. 126, iss. 1, pp. 202--228. DOI: https://doi.org/10.1006/jcph.1996.0130

[8] Галепова В.Д., Лукин В.В., Марчевский И.К. и др. Сравнительное исследование лимитеров семейства WENO и Hermite WENO для расчета одномерных течений газа методом RKDG. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2017, № 131. DOI: http://doi.org/10.20948/prepr-2017-131

[9] Lukin V.V., Korchagova V.N., Sautkina S.M. On stable Runge --- Kutta methods for solving hyperbolic equations by the discontinuous Galerkin method. Diff. Equat., 2021, vol. 57, no. 7, pp. 921--933. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266121070089

[10] Лукин В.В. Устойчивые методы Рунге --- Кутты второго и третьего порядка для решения задач газовой динамики разрывным методом Галеркина. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2022, № 52. DOI: https://doi.org/10.20948/prepr-2022-52

[11] Gatsuk V.K., Lukin V.V. Mixed characteristic discontinuous Galerkin approach for perfect gas dynamics modeling. J. Phys.: Conf. Ser., 2021, vol. 2028, art. 012018. DOI: http://dx.doi.org/10.1088/1742-6596/2028/1/012018

[12] Попов Ю.П., Самарский А.А. Полностью консервативные разностные схемы для уравнений газодинамики в переменных Эйлера. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1970, т. 10, № 3, с. 773--779.

[13] Toro E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Berlin, Heidelberg, Springer, 2013. DOI: https://doi.org/10.1007/b79761

[14] Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М., ФИЗМАТЛИТ, 2001.

[15] Попов М.В., Устюгов С.Д. Кусочно-параболический метод на локальном шаблоне для задач газовой динамики. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2007, т. 47, № 12, c. 2055--2075. EDN: IBMNPP

[16] Collela P., Woodward P. The Piecewise Parabolic Method (PPM) for gas-dynamical simulations. J. Comp. Phys., 1984, vol. 54, iss. 1, pp. 174--201. DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9991(84)90143-8

[17] Уcтюгoв C.Д., Пoпoв М.B. Кycoчнo-пapaбoличecкий мeтoд нa лoкaльнoм шaблoнe. I. Уpaвнeниe пepeнoca и ypaвнeниe Бюpгepca. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2006, № 65.

[18] Уcтюгoв C.Д., Пoпoв М.B. Кусочно-параболический метод на локальном шаблоне. II. Уравнения газодинамики. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2006, № 71.

[19] Kurganov A., Tadmor E. Solution of two-dimensional Riemann problems for gas dynamics without Riemann problem solvers. Numer. Methods Partial Differ. Equ., 2002, vol. 18, iss. 5, pp. 584--608. DOI: https://doi.org/10.1002/num.10025

[20] Helzel C., Kerkmann D., Scandurra L. A new ADER method inspired by the active flux method. J. Sci. Comput., 2019, vol. 80, no. 3, pp. 1463--1497. DOI: https://doi.org/10.1007/s10915-019-00988-1

[21] Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Матем. сб., 1959, т. 47, № 89, с. 271--306. EDN: SIYXCJ