Вероятности перескока границы для случайного блуждания в полуплоскости и ветвящийся процесс с взаимодействием

Рассмотрено случайное блуждание на целочисленной решетке полуплоскости. Найдены вероятности остановки случайного блуждания на границе полуплоскости и вероятности перескока этой границы. Для аналитического решения задачи определен вспомогательный марковский процесс с непрерывным временем на целочисленной решетке четверти плоскости, "вложенная цепь Маркова" для которого совпадает со случайным блужданием. Применен предложенный автором метод экспоненциальной производящей функции для решения стационарной первой (обратной) системы дифференциальных уравнений Колмогорова для марковского ветвящегося процесса с взаимодействием. Явное представление для вероятностей остановки в точке границы-полосы получено в предположении, что скачки случайного блуждания направлены в полуплоскость. Это представление обобщает известный частный случай сведения границы полуплоскости в линию, перескок через границу отсутствует.

Литература

[1] Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969. 472 с.

[2] Chen A., Li J., Chen Y, Zhou D. Extinction probability of interacting branching collision processes // Adv. Appl. Probab. 2012. Vol. 44. No. 1. P. 226-259.

[3] Fayolle G., Iasnogorodski R., Malyshev V.A. Random walks in the quarter-plane: algebraic methods, boundary value problems and applications. Berlin: SpringerVerlag, 1999. 156 p.

[4] Калинкин А.В. Вероятность вырождения ветвящегося процесса с взаимодействием частиц // Теория вероятностей и ее применения. 1982. Т. 27. Вып. 1. С. 192-197.

[5] Калинкин А.В. Вероятность остановки на границе случайного блуждания в четверти плоскости и ветвящийся процесс с взаимодействием частиц // Теория вероятностей и ее применения. 2002. Т. 47. № 3. С. 452-474.

[6] Мастихин А.В. Решение стационарного первого уравнения Колмогорова для марковского процесса эпидемии со схемой T1 + T2 -> T1 + T3; T1 + T3 -> T1; T1 -> 0 // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2005. № 2 (17). С. 75-86.

[7] Ланге А.М. О распределении числа финальных частиц ветвящегося процесса с превращениями и парными взаимодействиями // Теория вероятностей и ее применения. 2006. Т. 51. Вып. 4. С. 801-809.

[8] Калинкин А.В. Финальные вероятности для ветвящегося случайного процесса с взаимодействием частиц // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269. Вып. 6. С. 1309-1312.

[9] Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971. 436 с.

[10] Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. 376 с.

[11] Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968. 472 с.

[12] Сборник задач по теории аналитических функций / М.А. Евграфов, К.А. Бежанов, Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. М.: Наука, 1972. 416 с.

[13] Калинкин А.В. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Успехи математических наук. 2002. Т. 57. № 2. С. 23-84.

[14] Anderson W.J. Continuous-time markov chains: an application-oriented approach. N.Y.: Springer, 1991. 340 p.

[15] Дорогов В.И., Чистяков В.П. Вероятностные модели превращения частиц. М.: Наука, 1988. 112 с.

[16] Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977. 568 с.

[17] Чжун Кай Лай. Однородные цепи Маркова. М.: Наука, 1964. 426 с.