Предельные теоремы для случайного блуждания в полуплоскости с перескоком границы

Ранее автором настоящей статьи были получены аналитические выражения для вероятностей достижения границы случайным блужданием на целочисленных точках полуплоскости и вероятностей перескока границы. В данной работе для установленных вероятностных распределений найдены асимптотические приближения, представляющие интерес для приложений. Предельные теоремы в докритическом и надкритическом случаях приводят к нормальному закону для точки выхода или точки перескока за границу - при условии, что остановка случайного блуждания произошла. В критическом случае асимптотическое приближение отлично от нормального закона - получено устойчивое распределение с показателем α = 1/2. Предельные теоремы обобщают известный частный случай, когда перескока через границу полуплоскости нет. Для вывода предельных теорем использован метод характеристических функций и метод преобразования Лапласа.

Литература

[1] Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969. 472 с.

[2] Калинкин А.В. Вероятности перескока границы для случайного блуждания в полуплоскости и ветвящийся процесс с взаимодействием // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2015. № 2. С. 38-52. DOI: 10.18698/1812-3368-2015-2-38-52

[3] Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971. 436 с.

[4] Otter R. The multiplicative process // Ann. Math. Statistics. 1949. Vol. 20. No. 2. P. 206-224.

[5] Калинкин А.В. Финальные вероятности для ветвящегося случайного процесса с взаимодействием частиц // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269. Вып. 6. С. 1309-1312.

[6] Калинкин А.В. Вероятность вырождения ветвящегося процесса с взаимодействием частиц // Теория вероятностей и ее применения. 1982. Т. 27. Вып. 1. С. 192-197.

[7] Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968. 472 с.

[8] Евграфов М.А., Бежанов К.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Сборник задач по теории аналитических функций. М.: Наука, 1972. 416 с.

[9] Athreya K.B., Ney P.E. Branching processes. Berlin: Springer-Verlag, 1972. 287 p.

[10] Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Едиториал УРСС, 2005. 448 с.

[11] Оберхеттингер Ф. Преобразования Фурье распределений и их обращения. Таблицы. М.: Наука, 1979. 248 с.

[12] Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969. 344 с.

[13] Ланге А.М. О распределении числа финальных частиц ветвящегося процесса с превращениями и парными взаимодействиями // Теория вероятностей и ее применения. 2006. Т. 51. Вып. 4. С. 801-809.

[14] Мастихин А.В. Решение стационарного первого уравнения Колмогорова для марковского процесса эпидемии со схемой T1 + T2 -> T1 + T3; T1 + T3 -> T1; T1 -> 0 // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2005. № 2. С. 75-86.