Робастное оценивание в пороговой авторегрессии

Изучены робастные свойства М-оценок параметров самовозбуждающейся пороговой авторегрессионной модели. Функция потерь, определяющая М-оценки, предполагалась выпуклой и дважды дифференцируемой. Порог авторегрессионной модели считался известным и единственным. Доказана асимптотическая нормальность М-оценок параметров авторегрессионного уравнения. Найдена асимптотическая относительная эффективность М-оценок, оценки наименьших квадратов и оценки наименьших модулей по отношению друг к другу. Значения асимптотической относительной эффективности вычислены для нормального распределения, двойного экспоненциального распределения (распределения Лапласа) и загрязненного нормального распределения (распределения Тьюки). Исследована зависимость асимптотической относительной эффективности указанных оценок от параметров (доли загрязнения и величины загрязнения) распределения Тьюки. Для всех трех оценок в пространстве параметров распределения Тьюки построены линии равной эффективности, которые позволили выделить области предпочтения для каждой пары рассмотренных оценок. Показано, что при небольшом отклонении распределения обновляющего процесса от нормального М-оценки являются эффективнее оценок наименьших квадратов и наименьших модулей. Приведены рекомендации по использованию указанных оценок в практических исследованиях.

Литература

[1] Franses P.H., Dijk D.V., Opschoor A. Time series models for business and economic forecasting. Cambridge: Cambridge University Press, 2014. 300 p.

[2] Tong H. Nonlinear time series: A dynamical approach. New York: Oxford University Press, 1990. 564 p.

[3] Tong H. Threshold models in time series analysis — 30 years on // Statistics and its Interface. 2011. Vol. 4. No. 2. P. 107–118. DOI: 10.4310/SII.2011.v4.n2.a1

[4] Petruccelli J.D., Woolford S.W. A threshold AR(1) model // J. Appl. Probab. 1984. Vol. 21. Iss. 2. P. 270–286. DOI: 10.1017/S0021900200024670

[5] Wang L., Wang J. The limiting behavior of least absolute deviation estimators for threshold autoregressive models // J. Multivariate Anal. 2004. Vol. 89. Iss. 2. P. 243–260. DOI: 10.1016/j.jmva.2004.02.006

[6] Pan P.-Q. Linear programming computation. Heidelberg: Springer, 2014. 747 p.

[7] Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical recipes: The art of scientific computing. New York: CAP, 2007. 1235 p.

[8] Bissantz N., Dümbgen L., Munk A., Stratmann B. Convergence analysis of generalized iteratively reweighted least squares algorithms on convex function spaces // SIAM J. Optim. 2009. Vol. 19. Iss. 4. P. 1828–1845. DOI: 10.1137/050639132 URL: http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/050639132

[9] Мудров В.И., Кушко В.Л. Метод наименьших модулей. М.: Знание, 1971. 64 с.

[10] Huber P., Ronchetti E.M. Robust statistics. Hoboken: Wiley, 2009. 360 p.

[11] Горяинов В.Б. М-оценки пространственной авторегрессии // Автоматика и телемеханика. 2012. № 8. C. 119–129.

[12] Häusler E., Luschgy H. Stable convergence and stable limit theorems. Heidelberg: Springer, 2015. 228 p.

[13] Горяинов В.Б. Оценки наименьших модулей коэффициентов пространственной авторегрессии // Известия РАН. Теория и системы управления. 2011. № 4. С. 58–65.

[14] Горяинов А.В., Горяинова Е.Р. Сравнение эффективности оценок методов наименьших модулей и наименьших квадратов в авторегрессионной модели со случайным коэффициентом // Автоматика и телемеханика. 2016. № 9. C. 84–95.

[15] Andersen P.K., Gill R.D. Cox’s regression model for counting processes: A large sample study // Ann. Statist. 1982. Vol. 10. No. 4. P. 1100–1120. DOI: 10.1214/aos/1176345976 URL: https://projecteuclid.org/euclid.aos/1176345976

[16] Горяинов В.Б., Горяинова Е.Р. Влияние аномальных наблюдений на оценку наименьших квадратов параметра авторегрессионного уравнения со случайным коэффициентом // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 2. С. 16–24. DOI: 10.18698/1812-3368-2016-2-16-24