Некоторые аналитические и геометрические свойства решений кососимметрических эллиптических систем

Изучены свойства комплекснозначных функций комплексного переменного, его вещественная и мнимая части удовлетворяют кососимметрической сильно эллиптической системе второго порядка с постоянными вещественными коэффициентами на плоскости. Исследовано поведение таких функций и их дилатации вблизи особых точек, установлена зависимость типа особенности от вида лорановского разложения рассматриваемой функции. Установлен принцип аргумента для изучаемых функций с полюсами, доказаны аналоги теорем Руше и Гурвица

Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации (проект МК-1204.2020.1), Минобрнауки России (проект № 0705-2020-0047), фонда "Базис" (проект № 20-7-37-1-2)

Литература

[1] Somigliana C. Sui sistemi simmetrici di equazioni a derivate parziali. Annali di Matematica, 1894, vol. 22, no. 1, pp. 143--156. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02353934

[2] Петровский И.Г. Об аналитичности решений систем уравнений с частными производными. Матем. сб., 1939, т. 5, с. 3--70.

[3] Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений. Матем. сб., 1951, т. 29, № 3, с. 615--676.

[4] Hua L.-K., Lin W., Wu C.-Q. On the uniqueness of the solution of the Dirichlet problem of the elliptic system of differential equations. Acta Math. Sinica, 1965, vol. 15, no. 2, pp. 174--187.

[5] Hua L.-K., Lin W., Wu C.-Q. Second-order systems of partial differential equations in the plane. Pitman Advanced Publishing Program, 1985.

[6] Verchota G.C., Vogel A.L. Nonsymmetric systems on nonsmooth planar domains. Trans. Amer. Math. Soc., 1997, vol. 349, no. 11, pp. 4501--4535.

[7] Багапш А.О., Федоровский К.Ю. C¹-аппроксимация функций решениями эллиптических систем второго порядка на компактах в R². Тр. МИАН, 2017, т. 298, с. 42--57. DOI: https://doi.org/10.1134/S0371968517030037

[8] Парамонов П.В., Федоровский К.Ю. О равномерной и C¹-приближаемости функций на компактах в R² решениями эллиптических уравнений второго порядка. Матем. сб., 1999, т. 190, № 2, с. 123--144. DOI: https://doi.org/10.4213/sm386

[9] Duren P., Hengartner W., Laugesen R.S. The argument principle for harmonic functions. Amer. Math. Monthly, 1996, vol. 103, no. 5, pp. 411--415. DOI: http://dx.doi.org/10.2307/2974933

[10] Suffridge T.J., Thompson J.W. Local behavior of harmonic mappings. Complex Variables Theory Appl., 2000, vol. 41, no. 1, pp. 63--80. DOI: https://doi.org/10.1080/17476930008815237

[11] Зайцев А.Б. Об отображениях решениями эллиптических уравнений второго порядка. Матем. заметки, 2014, т. 95, вып. 5, с. 718--733. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm10225

[12] Hengartner W., Schober G. Univalent harmonic functions. Trans. Amer. Math. Soc., 1987, vol. 299, no. 1, pp. 1--31.

[13] Duren P. Harmonic mappings in the plane. Cambridge Univ. Press, 2004.

[14] Зайцев А.Б. О взаимной однозначности решений эллиптических уравнений второго порядка в единичном круге на плоскости. Зап. науч. сем. ПОМИ, 2015, т. 434, с. 91--100.

[15] Домрин А.В., Сергеев А.Г. Лекции по комплексному анализу. М., МИАН, 2004.