Двойственная вариационная модель стационарного процесса теплопроводности, учитывающая пространственную нелокальность

Аннотация

Теории микроконтинуума имеют большой потенциал для моделирования структурно-чувствительных материалов. Основы нелокальной механики на примере теории упругости изложены в достаточно большом числе работ. В настоящее время исследования возможностей использования нелокальной механики при моделировании наноустройств, наноэлектромеханических систем (NEMS), сред со сложной внутренней микро- и наноструктурой являются актуальными. Как правило, анализ таких моделей связан с преодолением определенных трудностей, вызванных необходимостью численного решения интегродифференциальных уравнений. Возможности анализа математических моделей непрерывной среды могут быть расширены в результате применения вариационных методов. Описано построение альтернативного функционала для задачи стационарной теплопроводности в однородном теле с учетом эффектов нелокальности и с независящим от температуры коэффициентом теплопроводности. Показано, что условия стационарности этого функционала совпадают с аналогичными условиями при отсутствии нелокальности. Альтернативный функционал в сочетании с ранее представленным основным функционалом составляют двойственную вариационную модель. Количественный анализ проведен на примере задачи о неограниченной в своей плоскости пластине с действующими постоянными внутренними источниками тепловыделения. Двойственная вариационная формулировка задачи позволяет не только получить приближенное решение рассматриваемой задачи, но и оценить его погрешность, а также при необходимости уменьшить эту погрешность путем подбора аппроксимирующих функций

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России (проект № 0705-2020-0047)

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Савельева И.Ю. Двойственная вариационная модель стационарного процесса теплопроводности, учитывающая пространственную нелокальность. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2022, № 5 (104), с. 45--61. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2022-5-45-61

Литература

[1] Eringen A.C. Nonlocal continuum field theories. New York, NY, Springer, 2002. DOI: https://doi.org/10.1007/b97697

[2] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Математическая модель нелокальной среды с внутренними параметрами состояния. Инженерно-физический журнал, 2013, т. 86, № 4, с. 768--773.

[3] Кувыркин Г.Н. Термомеханика деформируемого твердого тела при высокоинтенсивном нагружении. М., Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993.

[4] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики релаксирующего твердого тела. Известия РАН. МТТ, 2012, № 2, с. 114--124.

[5] Shaata M., Ghavanloo E., Fazelzadeh S.A. Review on nonlocal continuum mechanics: physics, material applicability, and mathematics. Mech. Mater., 2020, vol. 150, art. 103587. DOI: https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2020.103587

[6] Arash B., Wang Q. A review on the application of nonlocal elastic models in modeling of carbon nanotubes and graphenes. Comput. Mater. Sci., 2012, vol. 51, no. 1, pp. 303--313. DOI: https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2011.07.040

[7] Srinivasa A.R., Reddy J.N. An overview of theories of continuum mechanics with nonlocal elastic response and a general framework for conservative and dissipative systems. Appl. Mech. Rev., 2017, vol. 69, iss. 3, art. 030802. DOI: https://doi.org/10.1115/1.4036723

[8] Rafii-Tabar H., Ghavanloo E., Fazelzadeh S.A. Nonlocal continuum-based modeling of mechanical characteristics of nanoscopic structures. Phys. Rep., 2016, vol. 638, pp. 1--97. DOI: https://doi.org/10.1016/j.physrep.2016.05.003

[9] Kroner E. Elasticity theory of materials with long range cohesive forces. Int. J. Solid Struct., 1967, vol. 3, iss. 5, pp. 731--742. DOI: https://doi.org/10.1016/0020-7683(67)90049-2

[10] Eringen A.C. Linear theory of nonlocal elasticity and dispersion of plane waves. Int. J. Eng. Sci., 1972, vol. 10, iss. 5, pp. 425--435. DOI: https://doi.org/10.1016/0020-7225(72)90050-X

[11] Eringen A.C., Edelen D.G.B. On nonlocal elasticity. Int. J. Eng. Sci., 1972, vol. 10, iss. 3, pp. 233--248. DOI: https://doi.org/10.1016/0020-7225(72)90039-0

[12] Jolley K., Gill S.P.A. Modelling transient heat conduction in solids at multiple length and time scales: a coupled non-equilibrium molecular dynamics/continuum approach. J. Comput. Phys. Sci., 2009, vol. 228, iss. 19, art. 7412. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2009.06.035

[13] Cahill D., Ford W., Goodson K., et al. Nanoscale thermal transport. J. Appl. Phys., 2003, vol. 93, iss. 2, art. 793. DOI: https://doi.org/10.1063/1.1524305

[14] Jolley K., Gills S.P.A. Modeling transient heat conduction at multiple length and time scale: a coupled equilibrium molecular dynamics/continuum approach. In: Pyrz R., Rauhe J.C. (eds). IUTAM Symposium on Modelling Nanomaterials and Nanosystems. IUTAM Bookseries, vol. 13. Dordrecht, Springer, 2009, pp. 27--36. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4020-9557-3_4

[15] Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Математические модели нелокальной теплопроводности. Тр.: Седьмая рос. нац. конф. по теплообмену. Т. 3. М., МЭИ, 2018, с. 141--144.

[16] Kuvyrkin G.N., Savelieva I.Yu., Kuvshinnikova D.A. One mathematical model of thermal conductivity for materials with granular structure. Therm. Sci., 2019, vol. 23, no. suppl. 4, pp. S1273--S1280. DOI: https://doi.org/10.2298/TSCI19S4273K

[17] Kuvyrkin G.N., Savelieva I.Yu., Kuvshinnikova D.A. Nonlocal thermodynamics: mathematical model two-dimensional thermal conductivity. E3S Web Conf., 2021, vol. 321, art. 03005. DOI: https://doi.org/10.1051/e3sconf/202132103005

[18] Савельева И.Ю. Вариационная формулировка математической модели процесса стационарной теплопроводности с учетом пространственной нелокальности. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2022, № 2 (101), с. 68--86. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2022-2-68-86

[19] Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М., Энергоатомиздат, 1983.

[20] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М., Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.

[21] Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. М., Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.