Конечно-элементный метод решения трехмерных задач теории устойчивости упругих конструкций

Рассмотрены трехмерные задачи теории устойчивости упругих конструкций. Использована тензорная постановка этого класса задач, предложенная ранее Ю.И. Димитриенко. Трехмерные задачи теории устойчивости упругих конструкций являются относительно мало исследованными, в отличие от двумерных задач теории устойчивости. В настоящее время численные методы их решения не известны. Сформулирована вариационная постановка задачи трехмерной теории устойчивости. На основе этой постановки предложен конечно-элементный метод решения задач теории устойчивости, который сводится к нахождению собственных значений системы линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей глобальной жесткости. Разработан программный модуль, реализующий предложенный конечно-элементный метод в рамках программного комплекса SMCM, разработанного в НОЦ "СИМПЛЕКС" МГТУ им. Н.Э. Баумана, с использованием CSIR-схемы хранения разряженных матриц и метода бисопряженных градиентов. Проведен тестовый расчет для задачи устойчивости прямоугольной пластины при продольном сжатии. Сравнение конечно-элементного решения этой задачи по трехмерной теории и теории пластин Тимошенко показало высокую точность разработанного численного метода при определении критических нагрузок. В то же время трехмерная теория позволяет установить более точные формы собственных функций потери устойчивости.

Литература

[1] Timoshenko S.P., Gere J.M. Theory of elastic stability. New York, Toronto, London: McGraw-Hill, 1961. 356 p.

[2] Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Гостехтеоретиздат, 1961. 339 с.

[3] Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 964 с.

[4] Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973. 215 с.

[5] Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1980. 324 с.

[6] Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, ошибки и парадоксы. М.: Наука, 1979. 384 с.

[7] Iyengar N.G.R. Structural stability of columns and plates. New Delhi: Affiliated East-West Press, 1986. 284 p.

[8] Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

[9] Bazant Z.P., Cedolin L. Stability of structures. Oxford: Oxford University Press, 1990. 316 p.

[10] Пикуль В.В. Современное состояние теории устойчивости оболочек // Вестник ДВО РАН. 2008. № 3. С. 3-9.

[11] Ванько В.И. Очерки по теории устойчивости элементов конструкций. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. 220 с.

[12] Соломонов Ю.С., Георгиевский В.П., Недбай А.Я., Андрюшин В.А. Прикладные задачи механики композитных цилиндрических оболочек. М.: Физматлит, 2014. 408 с.

[13] Болотин В.В. О сведении трехмерных задач теории упругой устойчивости к одномерным и двумерным задачам // Проблемы устойчивости в строительной механике. 1965. С. 166-179.

[14] Гузь А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. Киев: Вища школа, 1986. 512 с.

[15] Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: УРСС, 2003. 208 с.

[16] Димитриенко Ю.И. Обобщенная трехмерная теория устойчивости упругих тел. Часть 3: Теория оболочек // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2014. № 2. C. 77-89.

[17] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 4. Основы механики твердого тела. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. 624 с.

[18] Димитриенко Ю.И. Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе уравнений теории устойчивости трехмерных упругих сред // Инженерный журнал: наука и инновации. 2015. Вып. 9. DOI: 10.18698/2308-6033-2015-9-1416 URL: http://engjournal.ru/catalog/mech/mdsb/1416.html

[19] Димитриенко Ю.И., Юрин Ю.В. Конечно-элементное моделирование напряженно-деформированного состояния горных пород с учетом ползучести // Математическое моделирование и численные методы. 2015. № 3. C. 101-118. DOI: 10.18698/2309-3684-2015-3-101118

[20] Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

[21] Прочность, жесткость, устойчивость элементов конструкций. Теория и практикум / М.А. Кузьмин, Д.Л. Лебедев, Б.Г. Попов. М.: Академкнига, 2008. 159 с.