Следовательно, если решение задачи (6) существует, то оно единст-
венно.
Согласно предположениям теоремы элемент
z
удовлетворяет
строгим неравенствам в (3), т.е. эти ограничения неактивны. При-
меним теорему Куна-Таккера [6], которая в данном случае служит
критерием оптимальности.
Для этого сначала выразим произвольный вектор
z
в виде
z
=
Aλ
.
Через
A
обозначена
n
×
J
матрица всех маршрутов, соединяющих
рассматриваемую тяготеющую пару,
λ
= (
λ
j
)
берется из соотношений
(2). (
A
– это
0
,
1
-матрица инциденций ребра–маршруты.) Это всегда
можно сделать. В случае, когда маршрут
L
j
не применяется для пе-
редачи продуктов, можно положить
λ
j
= 0
. (Маршрут
L
j
представлен
j
-м столбцом матрицы маршрутов.)
Выпишем функцию Лагранжа
(
λ
0
=
λ
k
)
:
H
(
μ, λ
) =
F
(
Aλ
) +
*
μ, λ
0
−
J
X
j
=1
λ
j
+
, λ
>
0
.
Тогда приходим к следующей форме критерия оптимальности век-
тора
λ
=
λ , z
=
Aλ
:
r
λ
H
=
fA
−
μ
(1
, . . . ,
1)
>
0
,
(
8
j
)
λ
j
((
fA
)
j
−
μ
) = 0
.
(7)
Здесь вектор задержек
f
= (
f
1
, f
2
, . . . , f
n
)
вычислен в точке
z
.
Из (7) следует, что
(
fA
)
j
=
μ
, если
λ
j
6
= 0
. Во всех остальных
случаях
(
fA
)
j
>
μ
. Осталось заметить, что
(
fA
)
j
=
ρ
(
L
j
, z
)
. Следо-
вательно, все применяемые маршруты, имея длину
μ
, являются крат-
чайшими, т.е. оптимальны.
Устойчивость решения.
Исходные данные модели обычно обла-
дают некоторой неопределенностью и возникает необходимость ис-
следовать устойчивость искомого решения. В рассматриваемой моде-
ли будем варьировать все параметры модели с помощью изменения
c
= (
λ
0
, z
)
-вектора, составленного из величин входных потоков и про-
пускных способностей линий ТС.
Задержки и целевая функция (6) есть функции переменных
z, c
,
а многогранник потоков — значение многозначного отображения
c
→
Z
(
c
)
. Предполагается, что параметр
c
изменяется в пределах мно-
жества
C
такого, что при
c
2
C
выполняются все условия теоремы 1
и, кроме того, все функции задержек непрерывны по совокупности
переменных. Тогда справедлива
Теорема 2.
Метрика сети непрерывно зависит от параметров мо-
дели.
Доказательство.
Из теоремы о непрерывной зависимости ОДУ
от параметра следует, что целевая функция
F
(
z, c
)
, z
2
Z
(
c
)
, c
2
C
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
73
