фиксированной температуре
T
по
N
следующим параметрам:
N
−
1
независимым концентрациям элементов в первой фазе и объемной до-
ле первой фазы
ν
1
. При этом состав второй фазы пересчитывали по
правилу рычага:
ν
2
ν
1
=
x
0
,i
−
x
α
1
,i
x
α
2
,i
−
x
0
,i
, i
= 1
, . . . , N,
(6)
где
i
— номер компонента фазы.
В формуле (6) величины
x
0
,i
,
i
= 1
, . . . , N
представляют собой
исходный состав распадающегося на две фазы сплава и обязательно
должны включаться в набор входных параметров алгоритма миними-
зации.
Таким образом, из равенства
Δ
F
2
ph
x
0
α
1
,
x
0
α
2
, T
= min
x
α
1
,
x
α
2
Δ
F
2
ph
(x
α
1
,
x
α
2
, T
)
можно определить устойчивые равновесные составы фаз
x
0
α
1
,
x
0
α
2
мно-
гокомпонентных сплавов на основе системы Fe-Cr-Co при заданной
температуре и таким образом построить фазовую диаграмму “состав–
температура” и по этой диаграмме прогнозировать свойства сплавов.
Поиск минимума функции (5) производился различными модифи-
кациями градиентного метода [11] при учете дополнительных усло-
вий, накладываемых в виде ограничений на составы:
0
< x
α
1
,i
<
1
,
0
< x
α
2
,j
<
1
для всех
i, j
= 1
, . . . , N
. Использованы строгие неравен-
ства, поскольку в противном случае функция химического вклада в
свободную энергию образования раствора (1) вследствие наличия ло-
гарифмических членов может иметь особенности, делающие затруд-
нительным минимизацию функции. Градиентные методы применимы
постольку, поскольку, как это можно видеть из выражений (1) и (3), в
указанных областях составов функция (5) дифференцируема. Компо-
ненты градиента находились численно по двухточечным и четырехто-
чечным формулам конечных разностей.
Для нахождения границ спинодальной области составов, внутри
которой сплав абсолютно неустойчив к сколь угодно малым флук-
туациям параметров, изучались точки гиперповерхности свободной
энергии образования однородной
α
-фазы (4) в пространстве незави-
симых концентраций при фиксированной температуре. Точки в этом
пространстве, в которых существуют направления, где величина вто-
рой производной отрицательна, лежат внутри спинодальной области.
В таких точках матрица Гессе (матрица вторых производных) функ-
ции (4) теряет знакоположительность. Исследовать матрицу Гессе на
знакоположительность можно, воспользовавшись критерием Сильве-
стра или решая задачу о собственных числах и векторах [12]. Оба
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
41
