ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 517.956.32, 517.986.7
СТАБИЛИЗАЦИЯ И СПЕКТР
В ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
А.В. Филиновский
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
e-mail:
flnv@mail.ruИзучена задача Коши для линейных операторно-дифференциальных уравнений
второго порядка в гильбертовом пространстве. Рассмотрен случай неогра-
ниченного самосопряженного неотрицательного оператора, особое внимание
уделено оператору Лапласа с краевым условием Дирихле. Исследована смешан-
ная задача для волнового уравнения, введен энергетический класс решений и
доказано представление решений в виде интеграла Бохнера – Стилтьеса. Уста-
новлена связь между спектральными свойствами оператора Лапласа и стаби-
лизацией при больших значениях времени решений смешанной задачи для вол-
нового уравнения. Исследовано асимптотическое поведение по времени функ-
ции локальной энергии для различных типов спектра. В случае ограниченных
областей, когда оператор Лапласа имеет дискретный спектр, доказано, что
решение, локальная энергия которого стремится к нулю, равно нулю тожде-
ственно. Для произвольных областей в случае оператора с непустым точечным
спектром доказано существование гладких и финитных начальных функций,
для которых функция локальной энергии не стремится к нулю. Показано, что
для оператора с непрерывным спектром стремится к нулю среднее по време-
ни функции локальной энергии. Для случая абсолютно непрерывного спектра
установлено стремление к нулю самой функции локальной энергии.
Ключевые слова
:
операторно-дифференциальное уравнение, гиперболическое
уравнение, краевое условие Дирихле, стабилизация, оператор Лапласа, спектр.
STABILIZATION AND SPECTRUM IN OPERATOR
DIFFERENTIAL EQUATIONS
A.V. Filinovskiy
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation
e-mail:
flnv@mail.ruWe investigate the Cauchy problem for a second order non-stationary linear operator
differential equation in a Hilbert space. We consider the case of an unbounded self-
adjoint positive operator with a special regard to the Laplace operator with Dirichlet
boundary conditions. The corresponding problem is a mixed problem for a wave
equation. Introducing the energy class solution we prove its representation by the
Bochner – Stiltjes integral. We establish the connection between spectral properties
of the Laplace operator and stabilization for large time values of the solutions to the
mixed problem of the wave equation. We investigate the asymptotic behavior in time
of the local energy function for the various types of spectrum. For bounded domains
where the spectrum of the Laplace operator is purely discrete we any solution with
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
3