альной энергии в поле сил тяжести:
H
=
ρ
2
ξ
Z
−
h
1
(
r
Φ)
2
dz
−
1
8
π
ξ
Z
−
h
1
(
r
ϕ
1
)
2
dz
−
−
1
8
π
h
2
Z
ξ
(
r
ϕ
2
)
2
dz
+
γ
p
1 + (
∂
x
ξ
)
2
+
ρgξ
2
2
,
(1)
где
ρ, h
1
— плотность и толщина слоя жидкости;
h
2
— зазор между
невозмущенной поверхностью жидкости и верхним электродом;
γ
—
коэффициент поверхностного натяжения; — диэлектрическая прони-
цаемость жидкости;
ξ
(
x, t
)
– отклонение поверхности от равновесного
положения;
ϕ
1
, ϕ
2
— потенциалы электрического поля в диэлектрике
и вакууме;
Φ
— потенциал поля скоростей;
g
— ускорение свободного
падения;
∂
x
— частная производная по
x
;
r
— градиент в вертикальной
плоскости
xz
.
Потенциалы поля скоростей
Φ
и электростатических полей
ϕ
1;2
в диэлектрике и вакууме определяются следующими уравнениями и
граничными условиями:
ΔΦ = 0
,
Δ
ϕ
1;2
= 0
,
z
=
−
h
1
:
∂
z
Φ = 0
, ϕ
1
= 0
,
z
=
h
2
:
ϕ
2
=
ϕ
0
,
z
=
ξ
:
∂
z
Φ = ˙
ξ, ϕ
1
=
ϕ
2
,
(
r
ϕ
1
)
n
= (
r
ϕ
2
)
n
,
(2)
где индекс
n
означает проекцию на нормаль к поверхности жидкости,
а
∂
z
— частную производную по
z
. Трудность решения уравнений (2)
связана с тем, что граничные условия задаются на поверхности
z
=
ξ
.
Поэтому решение можно искать в виде разложения по отношению
амплитуды возмущения к глубине нижней (или верхней) жидкости.
Граничные условия при этом нужно “переносить” с поверхности
z
=
ξ
на поверхность
z
= 0
.
Для волновых возмущений малой амплитуды вида
ξ
k
=
Q
k
exp
ikx
решение линеаризованных задач (2) имеет вид
Φ
k
= ˙
Q
k
(sh
kz
+ cth
kh
1
ch
kz
)
e
ikx
/k,
ϕ
1
k
=
ϕ
0
(
z
+
h
1
)
h
1
+
h
2
+
ϕ
0
(
−
1)(sh
kz
+ th
kh
1
ch
kz
)
e
ikx
Q
k
(
h
1
+
h
2
)(th
kh
1
+ th
kh
2
)
,
ϕ
2
k
=
ϕ
0
+
ϕ
0
(
z
−
h
2
)
h
1
+
h
2
+
ϕ
0
(
−
1)(sh
kz
−
th
kh
2
ch
kz
)
e
ikx
Q
k
(
h
1
+
h
2
)(th
kh
1
+ th
kh
2
)
.
(3)
Случаю, когда нижний слой жидкости представляет собой хороший
проводник, соответствует предел
→ ∞
, откуда следует, что
ϕ
1
k
≡
0
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
85
