а для
ϕ
2
k
справедливо соотношение
ϕ
2
k
=
ϕ
0
h
2
z
+
ϕ
0
(sh
kz
−
th
kh
2
ch
kz
)
e
ikx
Q
k
h
2
th
kh
2
.
Линеаризация (1), подстановка решений (3) и последующее усред-
нение по одной длине волны возмущения
ξ
k
приводят к выражению
для горизонтальной плотности гамильтониана возмущения в виде
H
k
=
ρ
˙
Q
2
k
2
k
th
kh
1
+
Q
2
k
2
γk
2
−
αk
+
ρg ,
α
=
ϕ
2
0
(
−
1)
2
4
π
(
h
1
+
h
2
)
2
(th
kh
1
+ th
kh
2
)
.
(4)
Таким образом, элементарное волновое возмущение аналогично
гармоническому осциллятору, а горизонтальная плотность гамильто-
ниана поля возмущений находится как сумма (4) по всем осциллято-
рам:
H
=
X
k
H
k
=
1
2
X
k
p
2
k
+
ω
2
k
q
2
k
,
ω
2
k
=
γk
2
−
αk
+
ρg
k
th
kh
1
ρ
.
(5)
Здесь введены координаты
q
k
, импульсы
p
k
, массы
m
k
и частоты
ω
k
осцилляторов:
q
k
=
√
m
k
Q
k
, p
k
=
√
m
k
˙
Q
k
, m
k
=
ρ
k
th
kh
1
.
При
ω
2
k
>
0
гамильтониан (4) является положительно определенным,
а при
ω
2
k
<
0
наступает неустойчивость по отношению к малым воз-
мущениям (параметр
α
принимает критическое значение
α
).
Следствия квантования поверхностных возмущений.
Выраже-
ния (4) и (5) позволяют рассматривать малые возмущения поверхности
как ансамбль возбуждений квазичастиц с импульсами
p
k
=
~
k
и энер-
гетическим спектром
ε
=
~
ω
k
, где
~
— постоянная Планка (рисунок).
Свободная энергия для ансамбля поверхностных возбуждений име-
ет вид [5]
F
=
∞
Z
0
1
1
−
e
ε/T
dε
dk
k
2
2
π
dk
=
Z
f
k
dk,
(6)
где учтено двукратное вырождение каждого возбуждения (волна впра-
во и влево), температура отнесена к постоянной Больцмана, а
f
k
—
спектральная плотность свободной энергии. Химический потенциал
системы бозонов с переменным числом частиц равен нулю.
86
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
