3. При вложении третьим способом в равновероятную после-
довательность
Y
распределение последовательности
[
Y
t
x r
1 +
...
+
r j
+1
,
Y
t
x r
1 +
...
+
r j
+2
, . . .
]
не зависит от конкретного варианта вложения отрез-
ков
˜
x
r
1
, . . . ,
˜
x
r
j
и совпадает с распределением последовательности
Y
.
Это следует из того, что по третьему способу знак
x
r
1
+
...
+
r
j
“вста-
вляется” наиболее близко к началу последовательности
Y
. Поэтому
случайное событие
t
x
r
1 +
...
+
r j
t
зависит только от случайных ве-
личин
Y
1
, . . . , Y
t
и не зависит от велич ин
Y
t
+1
, Y
t
+2
, . . . .
. Значит, слу-
чайная величина
t
x
r
1 +
...
+
r j
является марковским моментом. Поэтому из
независимости и одинаковой распределенности случайных величин,
образующих последовательность
Y
, вытекает требуемое свойство.
Обозначим через
P
r
1
,...,r
k
d
(
x
n
)
вероятность вложения третьим вспо-
могательным способом отрезка последовательности
x
n
в случайную
равновероятную последовательность из независимых случайных ве-
личин
Y
. В силу свойств 1 и 3
P
d
n
(
d
+1)
(
x
n
)
P
r
1
,...,r
k
d
(
x
n
) =
k
i
=1
P
d
r
i
(
d
+1)
(˜
x
r
i
)
.
(6)
Пусть теперь отрезок
X
n
случаен и состоит из независимых слу-
чайных величин, имеющих одинаковое распределение
P
X
на множе-
стве
A
N
. Тогда
E
P
X
P
r
1
,...,r
k
d
(
X
n
) =
k
i
=1
E
P
X
P
d
r
i
(
d
+1)
( ˜
X
r
i
)
.
Так как
E
P
X
P
d
r
i
(
d
+1)
( ˜
X
r
i
) =
E
P
X
P
d
r
i
(
d
+1)
(
X
r
i
)
, то, подставив в (6)
x
n
=
X
n
и применив оператор математического ожидания, получим
(4). Теорема 2 доказана.
В случае небольших значений параметра
n
средняя вероятность
вложения с допуском может быть вычислена при помощи ЭВМ. Ис-
пользуя результаты этого вычисления и теорему 2, удается получить
нижние оценки для средней вероятности плотного вложения и вложе-
ния с допуском два отрезка двоичной последовательности длины
n
из
диапазона
10
n
30
в начало равновероятной последовательности
Бернулли. Приведем результаты двух таких экспериментов.
Пусть
n
=
kR
+
l,
1
l
R
−
1
.
Вычисления показывают,
что оценка средней вероятности с использованием теоремы 2 будет
наиболее точной, если при заданном числе сомножителей
k
в правой
части ее параметры выбраны так, что
r
1
=
. . .
=
r
k
=
R, r
k
+1
=
l
.
В табл. 1 и 2 приведены оценки для средней вероятности плот-
ного вложения (
d
= 1
) и вложения с допуском
d
= 2
для различных
значений параметров
n
и
R
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
9
