Динамика взаимодействия пульсирующего слоя вязкой сжимаемой жидкости с пластиной на нелинейно-упругом основании

Аннотация

Предложена математическая модель взаимодействия пульсирующего ползущего слоя вязкой сжимаемой жидкости (газа) с пластиной, установленной на упругом основании с жесткой кубической нелинейностью. Пластина является нижней стенкой узкого плоского канала, верхняя стенка которого полагается жесткой. Рассмотрен случай изотермического состояния, когда пульсация жидкости обусловлена заданным законом изменения давления на торцах канала. Модель включает в себя уравнения Навье --- Стокса для вязкой сжимаемой жидкости, уравнение неразрывности, уравнение состояния баротропной среды и уравнение динамики пластины типа Кирхгофа, краевые условия на границах контакта разнородных сред и торцах канала. Проведен асимптотический анализ модели методом возмущений и получены линеаризованные уравнения динамики тонкого ползущего слоя сжимаемой вязкой жидкости. С использованием метода итераций найдено распределение давления в слое жидкости. В результате получено интегродифференциальное уравнение изгибных аэроупругих колебаний пластины на нелинейно-упругом основании. На базе решения этого уравнения методом Бубнова --- Галеркина получено обобщенное уравнение Дуффинга. Из этого уравнения следует, что сжимаемость жидкости ведет к уменьшению инерционных свойств рассматриваемой системы и к появлению фазового запаздывания возмущающей силы. С использованием метода гармонического баланса определен основной аэроупругий отклик пластины и нелинейная характеристика ее фазового сдвига. Численное исследование этих характеристик показало, что учет сжимаемости жидкости приводит к возрастанию значений резонансных частот и амплитуд колебаний пластины. Показана возможность подавления неустойчивых колебаний пластины со скачкообразным изменением амплитуд ее прогибов за счет изменения толщины слоя жидкости

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (грант № 23-29-00159, https://rscf.ru/project/23-29-00159/)

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Попов В.С., Попова А.А. Динамика взаимодействия пульсирующего слоя вязкой сжимаемой жидкости с пластиной на нелинейно-упругом основании. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2024, № 3 (114), с. 45--69. EDN: PHHPGG

Литература

[1] Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т. и др. Аэрогидроупругость конструкций. М., ФИЗМАТЛИТ, 2000.

[2] Paidoussis M.P., Price S.J., De Langre E. Fluid-structure interactions. Cambridge Univ. Press, 2011.

[3] Lamb H. On the vibrations of an elastic plate in contact with water. Proc. Math. Phys. Eng. Sci., 1920, vol. 98, iss. 690, pp. 205--216. DOI: https://doi.org/10.1098/rspa.1920.0064

[4] Amabili M., Kwak M.K. Free vibrations of circular plates coupled with liquids: revising the Lamb problem. J. Fluids Struct., 1996, vol. 10, iss. 7, pp. 743--761. DOI: https://doi.org/10.1006/jfls.1996.0051

[5] Velmisov P.A., Pokladova Yu.V. Mathematical modelling of the "pipeline -- pressure sensor" system. J. Phys. Conf. Ser., 2019, vol. 1353, art. 01208. DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1353/1/012085

[6] Kheiri M., Paidoussis M.P., Costa Del Pozo G., et al. Dynamics of a pipe conveying fluid flexibly restrained at the ends. J. Fluids Struct., 2014, vol. 49, pp. 360--385. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jfluidstructs.2013.11.023

[7] Вельмисов П.А., Тамарова Ю.А., Покладова Ю.В. Исследование динамической устойчивости изгибно-крутильных деформаций трубопровода. Журнал Средневолжского математического общества, 2021, т. 23, № 1, с. 72--81. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.23.202101.72-81

[8] Бочкарев С.А., Лекомцев С.В., Матвеенко В.П. Гидроупругая устойчивость прямоугольной пластины, взаимодействующей со слоем текущей идеальной жидкости. Известия РАН. МЖГ, 2016, № 6, с. 108--120. DOI: https://doi.org/10.7868/S0568528116060049

[9] Александров А.А., Ларионов В.И., Юзефович А.В. и др. Математическая постановка и численное решение задачи о пространственном изгибе трубопровода в сложных геологических условиях. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2012, № 3 (46), с. 100--108. EDN: PBZHQZ

[10] Hasheminejad S.M., Mohammadi M.M. Hydroelastic response suppression of a flexural circular bottom plate resting on Pasternak foundation. Acta Mech., 2017, vol. 228, no. 12, pp. 4269--4292. DOI: https://doi.org/10.1007/s00707-017-1922-4

[11] Bochkarev S.A., Kamenskikh A.O., Lekomtsev S.V. Experimental investigation of natural and harmonic vibrations of plates interacting with air and fluid. Ocean Eng., 2020, vol. 206, art. 10734. DOI: https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2020.107341

[12] Kozlovsky Y. Vibration of plates in contact with viscous fluid: extension of Lamb’s model. J. Sound Vib., 2009, vol. 326, iss. 1-2, pp. 332--339. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2009.04.031

[13] Womersley J.R. Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known. J. Physiol., 1955, vol. 127, iss. 3, pp. 553--563. DOI: https://doi.org/10.1113/jphysiol.1955.sp005276

[14] Faria C.T., Inman D.J. Modeling energy transport in a cantilevered Euler --- Bernoulli beam actively vibrating in Newtonian fluid. Mech. Syst. Signal Process., 2014, vol. 45, iss. 2, pp. 317--329. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2013.12.003

[15] Velmisov P.A., Ankilov A.V. Dynamic stability of plate interacting with viscous fluid. Cybernetics and Physics, 2017, vol. 6, no. 4, pp. 269--277. EDN: BHTMGF

[16] Hosseini-Hashemi S., Arpanahi R.A., Rahmanian S., et al. Free vibration analysis of nano-plate in viscous fluid medium using nonlocal elasticity. Eur. J. Mech. A/Solids, 2019, vol. 74, pp. 440--448. DOI: https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2019.01.002

[17] Шевцова Е.В. Газовое демпфирование в микромеханических приборах. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2006, № 2 (63), с. 100--111. EDN: HTXJKV

[18] Турчак Л.И., Шидловский В.П. Математическое моделирование проблем газовой смазки. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2011, т. 51, № 2, с. 329--348. EDN: NDJJSH

[19] Редер Т., Тененев В.А., Чернова А.А. Численное моделирование неустойчивых режимов работы предохранительного клапана. Вестн. Том. гос. ун-та. Математика и механика, 2020, № 68, с. 141--157. DOI: https://doi.org/10.17223/19988621/68/13

[20] Tulchinsky A., Gat A.D. Frequency response and resonance of a thin fluid film bounded by elastic sheets with application to mechanical filters. J. Sound Vib., 2019, vol. 438, pp. 83--98. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2018.08.047

[21] Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Динамика взаимодействия пульсирующей вязкой жидкости со стенками щелевого канала, установленного на упругом основании. Проблемы машиностроения и надежности машин, 2017, № 1, c. 15--23. EDN: YKVAMH

[22] Блинков Ю.А., Евдокимова Е.В., Могилевич Л.И. и др. Моделирование волновых процессов в двух оболочках с жидкостью между ними и окруженных упругой средой. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2018, № 6 (81), c. 4--17. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2018-6-4-17

[23] Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. и др. Математическое моделирование нелинейных колебаний стенки канала, взаимодействующей с вибрирующим штампом через слой вязкой жидкости. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2022, № 2 (139), с. 26--41. DOI: https://doi.org/10.18698/0236-3933-2022-2-26-41

[24] Barulina M., Santo L., Popov V., et al. Modeling nonlinear hydroelastic response for the endwall of the plane channel due to its upper-wall vibrations. Mathematics, 2022, vol. 10, iss. 20, art. 3844. DOI: https://doi.org/10.3390/math10203844

[25] Кондратов Д.В., Кондратова Т.С., Попов В.С. и др. Моделирование гидро-упругого отклика пластины, установленной на нелинейно-упругом основании и взаимодействующей с пульсирующим слоем жидкости. Компьютерные исследования и моделирование, 2023, т. 15, № 3, с. 581--597. DOI: https://doi.org/10.20537/2076-7633-2023-15-3-581-597

[26] Андрианов И.В., Данишевский В.В., Иванков А.О. Асимптотические методы в теории колебаний балок и пластин. Днепропетровск, ПГАСА, 2010.

[27] Ерофеев В.И., Леонтьева А.В. Дисперсия и пространственная локализация изгибных волн, распространяющихся в балке Тимошенко, лежащей на нелинейно-упругом основании. Известия РАН. МТТ, 2021, № 4, с. 3--17. DOI: https://doi.org/10.31857/S0572329921030041

[28] Константинеску В.Н. Газовая смазка. М., Машиностроение, 1968.

[29] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М., Дрофа, 2003.

[30] Nayfeh A.H., Mook D.T. Nonlinear oscillations. Wiley, 1979.

[31] Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Л., ЛГУ, 1978.

[32] Ерофеев В.И., Морозов А.Н., Царев И.С. Эволюция квазигармонических изгибных волн в балке, лежащей на обобщенном нелинейно-упругом основании, и возможность их трансформации в последовательность волновых пакетов. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2023, № 2 (107), с. 83--97. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2023-2-83-97

[33] Попов В.С., Могилевич Л.И., Попова А.А. Колебания стенки канала на нелинейно-упругом подвесе под воздействием пульсирующего слоя вязкого газа, находящегося в канале. Известия высших учебных заведений. Радиофизика, 2023, т. 66, № 10, с. 821--834. EDN: MYGLAK

[34] Van Dyke M. Perturbation methods in fluid mechanics. Parabolic Press, 1975.

[35] Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М., Наука, 1967.

[36] Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М., Наука, 1991.

[37] Krack M., Gross J. Harmonic balance for nonlinear vibration problems. In: Mathematical Engineering. Cham, Springer, 2019.