Графовый подход при построении конечно-элементной модели упругих тел в полярной системе координат

Предложен численный метод анализа напряженно-деформированного состояния упругой среды на основе дискретной модели в виде ориентированного графа. В процессе анализа на основе графового метода тело рассечено на элементы и для каждого из них построена элементарная ячейка (подграф), являющаяся его моделью. Уравнение элементарной ячейки получено с помощью инварианта, сохраняющегося при преобразовании элемента в ячейку. В качестве инварианта использована энергия деформации. Описана процедура определения параметров элементарной ячейки. Граф всего тела построен по тому же принципу, что и элементарная ячейка. Вывод определяющей системы уравнений основан на использовании фундаментальных законов Кирхгофа для графов и применении специальным образом сконструированных несингулярных взаимно обратных матриц. Графовый метод позволяет строить линейную аппроксимацию деформаций (соответствует квадратичной функции перемещений) на четырехузловом элементе с восемью степенями свободы. В традиционном подходе метода конечных элементов для такой аппроксимации требуется элемент, имеющий восемь узлов (16 степеней свободы). В результате определяющая система уравнений графового метода содержит примерно в 3 раза меньше уравнений по сравнению с системой, выведенной с помощью традиционного подхода метода конечных элементов. Приведены числовые примеры, показывающие работоспособность предложенного метода.

Литература

[1] Trent H. Isomorphism between oriented linear graphs and lumped physical systems // J. of the Acoustical Soc. of America. 1955. Vol. 27. No. 3. P. 500-527. DOI: 10.1121/1.1907949 URL: http://asa.scitation.org/doi/abs/10.1121/1.1907949

[2] Кузовков Е.Г. Конфигурация и параметры графовой модели упругого тела // Проблемы прочности. 1986. № 4. С. 98-103.

[3] Кузовков Е.Г. Уравнения состояния графовой модели упругого тела // Проблемы прочности. 1986. №5. С. 112-117.

[4] Кузовков Е.Г. Осесимметричная графовая модель упругого тела // Проблемы прочности. 1996. № 6. С. 83-103.

[5] Кузовков Е.Г. Графовая модель упругой среды в декартовой системе координат // Проблемы прочности. 1993. № 12. С. 60-70.

[6] Тырымов А.А. Сингулярный элемент графовой модели упругой среды в декартовой системе координат // Вычислительная механика сплошных сред. 2011. Т. 4. № 4. C. 125136. DOI: org/10.7242/1999-6691/2011.4.4.47 URL: http://www2.icmm.ru/journal/download/CCMv4n4a14.pdf

[7] Тырымов А.А. Численное моделирование и расчет податливости образца с центральной трещиной на основе графовой модели упругого тела // Труды МАИ. 2014. № 77. URL: http://www.mai.ru/upload/iblock/e70/e7020711c2e38b9154c74d87fb727ed5.pdf

[8] Тырымов А.А. Численное решение осесимметричной задачи теории упругости на основе графовой модели сплошной среды // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Серия: Физико-математические науки. 2012. № 2. C. 103-114. DOI: 10.14498/vsgtu914 URL: http://www.mathnet.ru/links/a093db6b43ff5ed8ebf1b212652ab489/vsgtu914.pdf

[9] Тырымов А.А. Численное моделирование и анализ напряженно-деформированного состояния анизотропного массива горных пород на основе графового метода // Физикотехнические проблемы разработки полезных ископаемых. 2012. № 5. C. 52-66.

[10] Тырымов А.А. Графовый подход при построении конечно-элементной модели упругих тел при осесимметричном деформировании // Известия Саратовского ун-та. Новая серия. Серия "Математика. Механика. Информатика". 2012. Т. 12. № 4. C. 96-106. URL: http://mmi.sgu.ru/sites/mmi.sgu.ru/files/16_1.pdf

[11] Тырымов А.А. Применение графовых моделей при анализе напряженно-деформированного состояния в массивах горных пород // Известия высших учебных заведений. Горный журнал. 2013. № 1. С. 52-59.

[12] Тырымов А.А. Графовая модель упругой среды в полярной системе координат // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 1999. № 1. С. 3-15.

[13] Тырымов А.А. Треугольный элемент графовой модели в полярной системе координат // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2000. № 1-2. С. 19-29.

[14] Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.

[15] Демидов С.П. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1979. 432 с.

[16] Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984. 454 с.

[17] Cook W.A. The effect of geometric shape on two-dimensional finite elements // Nuclear Engineering and Design. 1982. No. 70. P. 13-26.