Функция Грина и интеграл Пуассона в круге для сильноэллиптических систем с постоянными коэффициентами

Рассмотрена задача Дирихле для однородной сильноэллиптической системы второго порядка с постоянными коэффициентами, другими словами, для дифференциального уравнения в частных производных вида L_τ,σf = 0, где f --- комплекснозначная функция, а L_τ,σ= (∂∂τ∂²)I+σ(τ∂∂+∂²)C. Здесь δδ --- операторы Коши --- Римана; I --- тождественный оператор; C:z---z̅ --- оператор комплексного сопряжения; τσ --- параметры, такие, что τ, σ ∈ (--1, 1). Для таких систем получены формулы интеграла типа Пуассона, функции Грина и решения задачи Дирихле в круге и эллипсе специального вида. Оператор L_τ,σ является возмущением оператора Лапласа Δ, а решение задачи Дирихле для уравнения L_τ,σf = 0 получено в виде суммы ряда по степеням параметра σ. Функции, являющиеся коэффициентами соответствующего ряда, могут быть найдены в результате решения рекуррентной последовательности задач Дирихле для обычных уравнений Лапласа и Пуассона.

Литература

[1] Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions // Comm. Pure Appl. Math. 1964. Vol. 17. Iss. 1. P. 35–92. DOI: 10.1002/cpa.3160170104

[2] Somigliana C. Sui sisteme simmetrici di equazioni a derivate parziali // C. Annali di Matematica. 1894. Vol. 22. Iss. 1. P. 143–156. DOI: 10.1007/BF02353934 URL: https://doi.org/10.1007/BF02353934

[3] Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений // Матем. сборник. 1951. Т. 29. № 3. С. 615–676.

[4] Ding S.K., Wang K.T., Ma J.N., Shun Ch.L., Chang T. On the definition of the second order elliptic system of partial differential equations with constant coefficients // Acta Math. Sinica. 1960. Vol. 10. P. 276–287.

[5] Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. 400 c.

[6] Keng H.L., Wei L., Wu C.Q. Second-order systems of partial differential equations in the plane. Boston, London, Melbourne: Pitman Advanced Publishing Program, 1985. 292 p.

[7] Verchota G.C., Vogel A.L. Nonsymmetric systems on nonsmooth planar domains // Transactions of the American Mathematical Society. 1997. Vol. 349. No. 11. P. 4501–4535.

[8] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 7. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.

[9] Багапш А.О. Интеграл Пуассона и функция Грина для одной сильно эллиптической системы уравнений в круге и эллипсе // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2016. Т. 56. № 12. С. 2065–2072.

[10] Багапш А.О., Федоровский К.Ю. C1-аппроксимация функций решениями эллиптических систем второго порядка на компактах в // Комплексный анализ и его приложения. Сб. статей. Труды МИАН. Т. 298. М., 2017. С. 42--57.

[11] Шабат Б.В. Функции одного переменного // Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1985. С. 13–258.