О Lip^m- и C^m-отражении гармонических функций относительно границ областей Каратеодори в R²

Получен ряд точных необходимых и достаточных условий Lip^m и C^m-непрерывности операторов гармонического отражения функций относительно границ простых областей Каратеодори в R². Приведем упрощенную формулировку основного результата. Для произвольной вещественной функции f, гармонической в жордановой области и непрерывной в ее замыкании, пусть R(f) — решение задачи Дирихле в области Ω с граничной функцией f|_∂Ω, где ∂Ω — граница области Ω. Функцию R(f) назовем гармоническим отражением функции f относительно границы ∂D = ∂Ω области D, а оператор R: f — R(f) — оператором гармонического отражения. Пусть теперь D — область с кусочно гладкой границей, и πα ∈ (0,π] — минимальный внутренний угол области D (т. е. πα — минимум величин всех внутренних углов V_a, образованных двумя разными лучами с вершиной a, касательными к ∂D). Примем m_α = 1/(2-α). Тогда при всех (m, m’) с условиями 0 < m’ < m_α или 0 < m’ < m_α ≤ m ≤ 1 оператор R является (m, m’)-непрерывным, и это не так при m_α < m’ ≤ m ≤ 1. Условие (m, m’)-непрерывности означает, что для любой функции f, гармонической в D, выполнено R(f) ∈ Lip^m (Ω). Кроме того, Lip^m (Ω)-норма функции R(f) должна оцениваться (с точностью до мультипликативной постоянной) через Lip^m (D)-норму функции f

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (проект № 1.3843.2017/4.6)

Литература

[1] Lebesgue H. Sur le probleme de Dirichlet // Rend. Circ. Mat. di Palermo. 1907. Vol. 29. P. 371--402.

[2] Парамонов П.В. О C1-продолжении и C1-отражении субгармонических функций с областей Ляпунова — Дини на RN // Математический сборник. 2008. Т. 199. № 12. С. 79--116.

[3] Warschawski S.E. On the differentiability at the boundary in conformal mapping // Amer. Math. Soc. Proceedings. 1961. Vol. 12. P. 614--620.

[4] Pommerenke C. Boundary behavior of conformal maps. Berlin: Springer, 1992. 300 p.

[5] Johnston E.H. The boundary modulus of continuity of harmonic functions // Pacific J. Math. 1980. Vol. 90. No. 1. P. 87--98.

[6] Beurling A. Etudes sur un Probleme de Majoration. Upsala: Almquist and Wiksell, 1933. 109 p.

[7] Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Рипол Классик, 2013. 638 с.

[8] Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966. 515 с.

[9] Парамонов П.В. Cm-приближения гармоническими полиномами на компактных множествах в RN // Математический сборник. 1993. Т. 184. № 2. С. 105--128.

[10] Hinkkanen A. Modulus of continuity of harmonic functions // Journal D Analyse Mathematique. 1988. Vol. 51. P. 1--29. DOI: 10.1007/BF02791117.pdf