Вариационная формулировка математической модели процесса стационарной теплопроводности с учетом пространственной нелокальности

Аннотация

Важным этапом в создании и использовании новых структурно-чувствительных материалов является построение математических моделей, позволяющих описать их поведение в широком диапазоне изменения внешних воздействий. Моделирование нелокальных сред представляет собой класс методов обобщенной механики сплошной среды. Возможности анализа математических моделей непрерывной среды могут быть расширены вследствие применения вариационных методов. Описано построение функционала для задачи стационарной теплопроводности в однородном теле с учетом эффектов нелокальности и независящего от температуры коэффициента теплопроводности. Использование вариационной формулировки в случае линейной задачи в сочетании с приемлемыми допустимыми функциями позволило количественно оценить влияние этого эффекта. Приведен пример использования предложенной вариационной формулировки, учитывающей влияние пространственной нелокальности процесса стационарной теплопроводности на параметры, которые определяют известное явление теплового взрыва при экспоненциальной зависимости от температуры объемной мощности тепловыделения в пластине. Количественный анализ выполнен для двух вариантов функции, допустимой для построенного интегрального функционала и описывающей возможное распределение температуры по толщине рассматриваемой пластины. Сравнение полученных результатов позволяет отдать предпочтение той допустимой функции, использование которой приводит к меньшему отличию максимального значения параметра, характеризующего интенсивность тепловыделения в пластине, от известного результата, найденного без учета влияния пространственной нелокальности

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России (проект № 0705-2020-0047)

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Савельева И.Ю. Вариационная формулировка математической модели процесса стационарной теплопроводности с учетом пространственной нелокальности. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2022, № 2 (101), с. 68--86. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2022-2-68-86

Литература

[1] Jolley K., Gill S. Modelling transient heat conduction in solids at multiple length and time scales: a coupled non-equilibrium molecular dynamics/continuum approach. J. Comput. Phys. Sci., 2009, vol. 228, iss. 19, pp. 7412--7425. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2009.06.035

[2] Cahill D., Ford W., Goodson K., et al. Nanoscale thermal transport. J. Appl. Phys., 2003, vol. 93, iss. 2, art. 793. DOI: https://doi.org/10.1063/1.1524305

[3] Jolley K., Gills S.P. Modeling transient heat conduction at multiple length and time scale: a coupled non-equilibrium molecular dynamics/continuum approach. In: Pyrz R., Rauhe J.C. (eds). IUTAM Symposium on Modelling Nanomaterials and Nanosystems. IUTAM Bookseries, vol. 13. Dordrecht, Springer, 2009, pp. 27--36. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4020-9557-3_4

[4] Онами М., Ивасимидзу С., Гэнка К. и др. Введение в микромеханику. М., Металлургия, 1987.

[5] Eringen A.C. Nonlocal continuum field theories. New York, NY, Springer, 2002. DOI: https://doi.org/10.1007/b97697

[6] Kuvyrkin G.N., Savelieva I.Yu. Thermomechanical model of nonlocal deformation of a solid. Mech. Solids, 2016, vol. 51, no. 3, pp. 256--262. DOI: https://doi.org/10.3103/S002565441603002X

[7] Kuvyrkin G., Savelyeva I., Kuvshinnikova D. Temperature distribution in a composite rod, taking into account nonlocal spatial effects. E3S Web Conf., 2019, vol. 128, art. 09006. DOI: https://doi.org/10.1051/e3sconf/201912809006

[8] Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Yu., Kuvshinnikova D.A. Nonlocal dynamic temperature stress simulation. J. Phys.: Conf. Ser., 2021, vol. 1902, art. 012015. DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1902/1/012015

[9] Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel’eva I.Yu. Mathematical model of a nonlocal medium with internal state parameters. J. Eng. Phys. Thermophy., 2013, vol. 86, no. 4, pp. 820--826. DOI: https://doi.org/10.1007/s10891-013-0900-5

[10] Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М., Энергоатомиздат, 1983.

[11] Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Yu. Variational estimates of the parameters of a thermal explosion of a stationary medium in an arbitrary domain. Int. J. Heat Mass Transf., 2019, vol. 135, pp. 614--619. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2019.02.009

[12] Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Yu., Zarubin V.S. Dual variational model of a thermal breakdown of a dielectric layer at an alternating voltage. Z. Angew. Math. Phys., 2019, vol. 70, no. 4, art. 115. DOI: https://doi.org/10.1007/s00033-019-1153-8

[13] Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel’eva I.Yu. The variational form of the mathematical model of a thermal explosion in a solid body with temperature-dependent thermal conductivity. High Temp., 2018, vol. 56, no. 2, pp. 223--228. DOI: https://doi.org/10.1134/S0018151X18010212

[14] Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. М., Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

[15] Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М., Наука, 1987.

[16] Глаголев К.В., Морозов А.Н. Физическая термодинамика. М., Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007.

[17] Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б. и др. Математическая теория горения и взрыва. М., Наука, 1980.

[18] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Вариационный подход к анализу модели теплового взрыва в твердом теле. Математика и математическое моделирование, 2016, № 5, с. 29--45. DOI: https://doi.org/10.7463/mathm.0516.0847523

[19] Parks J.R. Criticality criteria for various configurations of a self-heating chemical as functions of activation energy and temperature of assembly. J. Chem. Phys., 1961, vol. 34, iss. 1, pp. 46--50. DOI: https://doi.org/10.1063/1.1731612

[20] Баничук Н.В., Петров В.М., Черноусько Ф.Л. Численное решение вариационных и краевых задач методом локальных вариаций. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1966, т. 6, № 6, с. 947--961.