В обозначении пространств Лебега и Соболева с переменными пока-
зателями использована нотация, принятая в [1, 2, 4].
Основной результат составляет оценка для так называемого
моду-
ляра
, которая оказывается довольно удобным средством в некоторых
вычислениях. В литературе обозначения этого объекта довольно раз-
нообразны. Здесь принята следующая форма:
h
ϕ
k
ψ
P
i
=
Z
C
ϕ
k
ψ
P
.
(Упомянутая оценка и ее доказательство приведены ниже.) Она оказы-
вается удобной, в частности, при рассмотрении временной эволюции
решений уравнений, содержащих члены с переменными показателями.
Предполагается, что функции с переменными показателями опре-
делены на выпуклом множестве с гладкой границей.
Лемма 1.
Если переменный показатель
P
(
x
)
удовлетворяет нера-
венству
q
≤ P
(
x
)
≤
r
и
ϕ
k/q
ψ
2
L
P
(
G
)
,
то
h
ϕ
k
ψ
q
i ≤
A
1+
δ
(1
−
q/r
)
h
ϕ
k
i
1
−
q/r
(1
−
q/r
)
1
−
q/r
h
ϕ
k
ψ
P
i
q/r
(
q/r
)
q/r
(1)
при условии, что параметры
A >
1
и
δ >
0
допускают неравенство
(
r/q
−
1)
h
ϕ
k
i
−
1
h
ϕ
k
ψ
P
i
< A
δ
.
(2)
Доказательство
леммы 1. Для фиксированного числа
t
2
]0
,
1[
и
x
2
G
неравенство Гельдера ведет к оценке
ϕ
k
ψ
q
=
tϕ
k
(1
−
q/
P
)
t
−
(
P
/q
−
1)
ϕ
k
ψ
P
q/
P
≤
tϕ
k
+
t
−
(
P
/q
−
1)
ϕ
k
ψ
P
.
Это неравенство преобразуется с помощью параметров
A >
1
и
δ >
0
в случае
t
2
]0
,
1[
:
tϕ
k
+
D
(1
/t
)
(
P
/q
−
1)
ϕ
k
ψ
P
E
≤
t ϕ
k
+ (1
/t
)
(
r/q
−
1)
ϕ
k
ψ
P
≤
≤
W
(
t
)
≡
A
1+
δ
t ϕ
k
+
At
−
(
r/q
−
1)
ϕ
k
ψ
P
.
Отыщем теперь минимум функции
W
(
t
)
на
]0
,
1[
. Легко видеть,
что
dW
dt
=
A
1+
δ
ϕ
k
−
(
r/q
−
1)
t
r/q
A ϕ
k
ψ
P
,
так что минимум
W
достигается при
t
r/q
= (
r/q
−
1)
A
−
δ
h
ϕ
k
i
−
1
h
ϕ
k
ψ
P
i
.
Если
(
r/q
−
1)
A
−
δ
h
ϕ
k
i
−
1
h
ϕ
k
ψ
P
i
<
1
, то точка
t
принадлежит ин-
тервалу
]0
,
1[
. Это другая форма условия (2). Оценка (1) обеспечива-
ется соответствующим значением
W
.
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
