Представляется уместным привести здесь же формулировку бо-
лее простого неравенства, не содержащего производных. Его доказа-
тельство сходно с выводом леммы 1. Область, где рассматриваются
функции с переменными показателями, как и ранее, предполагается
достаточно регулярной.
Лемма 2.
Если показатели
Q
(
x
)
и
R
(
x
)
удовлетворяют неравен-
ству
Q
+
/
R
−
≡ Q
+
/
R
z
−
≤
1
−
κ,
где
Q
+
и
R
−
— наименьшее и наибольшее значения соответствующих
показателей
,
а величина
κ
2
]0
,
1[
постоянна
,
то
ϕ
Q
+
≤
B
1+(1
−
κ
)
ν
(1
/κ
)
h
1
i
)
κ
(1
−
κ
)
−
1
h
ϕ
R
i
1
−
κ
при условии
,
что
ν
2
]0
,
1[
, B >
1
и выполняется неравенство
B
ν
≥
(1
/κ
−
1)
−
1
h
1
i
/
h
ϕ
R
i
.
Выводы.
Получены новые результаты, относящиеся к исследова-
нию свойств функций с переменными показателями. Основным из них
является лемма 1; обе леммы могут быть полезны в приложениях.
Приведенные оценки могут найти применение в теории нелиней-
ных дифференциальных уравнений в частных производных.
Работа выполнена при поддержке Фонда науки и технологий FCT
Португалии в рамках исследований Математического центра Уни-
верситета Бейра Интериор “Модели физических процессов сплош-
ной среды”
(
Centro de Matem´atica, Universidade da Beira Interior, sub-
project “Models of Physical Processes in Continua”
).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. A n t o n t s e v S., S h m a r e v S. Elliptic equations and systems with nonstandard
growth conditions: existence, uniqueness and localization properties of solution //
Nonlinear Anal. – 2006. – Vol. 65. – P. 728–761.
2. A n t o n t s e v S., S h m a r e v S. Elliptic equations with anisotropic nonlinearity
and nonstandard growth conditions. Part. 1. Handbook Diff. Equations – Stationary
PDF. V. 3. – P. 1–100. Elsevier, 2006.
3. H a s t o P., D i e n i n g L., H a r j u l e h t o P., R u z i c h a M. Lebesgue
and Sobolev spaces with variable exponents. Volume 2017 of Lecture Notes in
Mathematics. – Springer-Verlag, Heidelberg, 2010.
4. K o v a c i k O., R a k o s n i k Z., R a k o s n i k J. On spaces
l
p
(
x
)
and
w
w,p
(
x
)
// Czechoslovak Math. J. – 1991. – Vol. 41, no. 116. – P. 592–618.
Статья поступила в редакцию 30.05.2012
Вадим Владимирович Юринский — д-р физ.-мат. наук, профессор университета Бей-
ра Интериор, Португалия. Специалист в области теории вероятностей, математиче-
ской статистики и краевых задач со случайными элементами.
V.V. Yurinskiy — D. Sc. (Phys.-Math.), professor of the University of Beira Interior,
Portugal. Specializes in probability theory, mathematical statistics, and boundary problems
with random elements.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
19
