схем естественно исходить из законов сохранения для отдельных ячеек
разностной сетки. Такой метод построения консервативных разност-
ных схем получил название интегро-интерполяционный метод (метод
баланса). С этим методом тесно связан метод контрольного объема,
в котором фактически не используется дифференциальная формули-
ровка задачи и отражаются законы сохранения непосредственно для
отдельных ячеек среды. Метод подробно описан в работе [2].
Постановка задачи.
Динамика температуры грунтов оснований
описывается уравнением теплопроводности [1]
[
c
(
x, y, z, u
)
ρ
(
x, y, z, u
) +
Qδ
(
u
−
u
)]
∂u
∂t
=
=
∂
∂x
λ
(
x, y, z, u
)
∂u
∂x
+
∂
∂y
λ
(
x, y, z, u
)
∂u
∂y
+
+
∂
∂z
λ
(
x, y, z, u
)
∂u
∂z
+
s
(
x, y, z, t
)
,
(1)
где
c
— удельная теплоемкость;
ρ
— плотность;
λ
— коэффициент те-
плопроводности;
u
(
x, y, z, t
)
— температура;
u
— температура фазово-
го перехода;
Q
— теплота фазового перехода;
s
(
x, y, z, t
)
— мощность
внутренних источников теплоты;
δ
(
u
−
u
)
—
δ
-функция.
Требуется найти решение
u
(
x, y, z, t
)
, удовлетворяющее начально-
му условию
u
(
x, y, z,
0) =
ϕ
(
x, y, z
)
,
в ограниченной области — прямоугольном параллелепипеде
D
=
{
0
6
x
6
L
x
,
0
6
y
6
L
y
,
0
6
z
6
L
z
}
.
На границе
z
= 0
происходит конвективный теплообмен со сре-
дой, имеющей температуру
θ
(
t
)
. Плотность теплового потока на этой
границе задается в виде
λ
∂u
∂z
=
h
(
θ
(
t
)
−
u
(
x, y,
0
, t
))
,
где
h
— коэффициент теплоотдачи,
h
= (
α
−
1
+
R
)
−
1
(
α
— коэффи-
циент конвективного теплообмена;
R
— коэффициент термического
сопротивления).
На границе
z
=
L
z
поддерживается постоянный тепловой поток
(поток из недр Земли [3])
λ
∂u
∂z
=
q
З
,
где
q
З
= 50
мВт/м
2
.
108
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 3
