КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 539.374
К. И. Р о м а н о в
УНИМОДАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
В ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
Показано, что в случае вращающейся балки можно получить реше-
ние в виде асимптотической функции без использования зависимо-
сти кривизны оси от прогиба. Эта задача позволяет распростра-
нить метод сил на системы с распределенной нагрузкой.
E-mail:
Ключевые слова
:
балка, вращение, мощность, нагрузка, диссипация.
В работах [1, 2] дано решение задач выпучивания реономных
стержней под действием сосредоточенной силы. В случае осевой на-
грузки
M
=
Py
, где
M
— изгибающий момент в произвольном попе-
речном сечении,
y
— прогиб. Когда вращающаяся вокруг продольной
оси
x
балка нагружается распределенной нагрузкой
q
=
ρFω
2
y
(
ρ
—
плотность материала,
F
— площадь поперечного сечения,
ω
— угловая
скорость), получить конечное выражение для
M
(
y
)
невозможно.
Связь
q
и
M
осуществляется на основе дифференциального урав-
нения
q
=
∂
2
M
∂x
2
.
(1)
Второе уравнение может быть получено из условия равенства мощ-
ности внутренней диссипации
w
1
=
q∂y/∂t
(
t
— время) и мощности
внешней энергии, подводимой к системе за счет вращения,
w
2
= ˙
ℵ
M
,
где
˙
ℵ
=
k
J
n
n
M
n
;
k
и
n
— постоянные;
J
n
— обобщенный момент инерции относительно
главной центральной оси.
Таким образом, постановка задачи сводится к решению системы
уравнений (
z
=
x
+
ct
,
c
=
const)
⎧⎪⎨
⎪⎩
ρFω
2
cy
dy
dz
=
k
J
n
n
M
n
+1
;
ρFω
2
y
=
d
2
M
dz
2
.
(2)
Из первого уравнения системы (2)
M
=
J
n
n
ρFω
2
c
k
y
dy
dz
1
n
+1
.
120
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
