удовлетворяет условию (10). При выполнении условия (10) решение
задачи дает интеграл Шварца (15).
Установим связь условий разрешимости (1) и (10) задач Шварца
для бикруга и биполуплоскости. Используя отображение
W
1
=
z
1
−
i
z
1
+
i
, W
2
=
z
2
−
i
z
2
+
i
:
D
→
B,
которое устанавливает взаимно однозначное соответствие точек би-
полуплоскости
D
и бикруга
B
=
{
(
W
1
, W
2
) :
|
W
1
|
<
1
,
|
W
2
|
<
1
}
, ото-
бразим область
r
−
×
Δ
+
на область
D
−
+
=
{
(
z
1
, z
2
) :
Im
z
1
<
0
,
Im
z
2
>
0
а первому равенству условий (1) придадим следующий вид:
M
(
γ
)
≡
1
(2
πi
)
2
∞
ZZ
−∞
γ
(
ξ
1
, ξ
2
)
dξ
1
dξ
2
(
ξ
1
−
z
1
) (
ξ
2
−
z
2
) (
ξ
1
+ 1) (
ξ
2
−
1)
= 0
,
(17)
где
γ
(
ξ
1
, ξ
2
) =
u
[
t
1
(
ξ
1
)
, t
2
(
ξ
2
)]
. Принимая во внимание представление
(4), перепишем равенство (16):
γ
12
4
−
1
4
πi
∞
Z
−∞
γ
2
(
ξ
1
)
dξ
1
ξ
1
+
i
−
1
4
πi
∞
Z
−∞
γ
1
(
ξ
2
)
dξ
2
ξ
2
−
i
+
+
1
2
πi
∞
Z
−∞
γ
1
(
ξ
2
)
dξ
2
ξ
2
−
z
2
+
M
(
γ
0
) = 0
.
(18)
Так как
(
−
i, i
)
2
D
−
+
, то, полагая
z
1
=
−
i,
z
2
=
i
, из последнего равен-
ства найдем, что
γ
12
4
−
1
4
πi
∞
Z
−∞
γ
2
(
ξ
1
)
dξ
1
ξ
1
+
i
+
1
4
πi
∞
Z
−∞
γ
1
(
ξ
2
)
dξ
2
ξ
2
−
i
= 0
.
(19)
Вычитая (18) из (17), получаем
−
1
2
πi
∞
Z
−∞
γ
1
(
ξ
2
)
dξ
2
ξ
2
−
i
+
1
2
πi
∞
Z
−∞
γ
1
(
ξ
2
)
dξ
2
ξ
2
−
z
2
+
M
(
γ
0
) = 0
.
(20)
Далее, если
z
1
=
−
i
и
(
−
i, z
2
)
2
D
−
+
, то из равенства (19) будем
иметь
1
2
πi
∞
Z
−∞
γ
1
(
ξ
2
)
dξ
2
ξ
2
−
z
2
−
1
2
πi
∞
Z
−∞
γ
1
(
ξ
2
)
dξ
2
ξ
2
−
i
= 0
.
(21)
Вычитая (20) из (19), получаем
M
(
γ
0
) = 0
.
(22)
48
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
