с наложенными на прогиб условиями по концам балки: при
x
= 0
u
= 0
и
∂
2
u/∂x
2
= 0
и при
x
=
l u
= 0
и
∂
2
u/∂x
2
= 0
.
Приближенно это уравнение удовлетворяется, например, кривой
u
=
a
sin(
πx/l
)
, где
a
— постоянная, определяемая с помощью урав-
нения (4) одним из вариантов метода взвешенных остатков [3].
Отметим, что в частном случае
n
= 1
уравнение (4) приводится
к задаче на собственные значения, когда решение определяет коорди-
натную функцию с точностью до постоянной.
Поскольку
du/dz
=
−
(
∂u/∂t
)
/c
, то обратимся в аналогичной по-
становке к задаче с начальным условием: определить вид зависимости
прогиба от времени, если при
t
= 0
y
=
y
(0)
. На основе уравнения
∂
∂t
"
∂u
∂t
2
#
=
2
kP
n
c
2
J
n
n
u
n
+1
(5)
при
P
=
const будем отыскивать решение в виде
u
=
u
(0)(1
−
at
)
−
m
,
(6)
где
a
и
m
— постоянные.
Подставим это уравнение в (5). Тогда получим
m
= 3
/
(
n
−
1)
.
Значение
m
в (6) можно квалифицировать как показатель Ляпуно-
ва в задаче устойчивости [4]. Якобиан преобразования координат
∂
0
u
=
∂u/
[
∂u
(0)] = (1
−
at
)
−
3
/
(
n
−
1)
отличается от своего значения в
способе определения критического времени с разделением перемен-
ных [3], в котором этот показатель определяет разбегание траекторий
по уравнению
∂
0
A
= 1
−
2 (
n
−
1)
kl
2
IA
n
−
1
0
P
n
t
π
3
J
n
n
−
n
n
−
1
,
где
I
=
I
(
n
)
.
Таким образом, операторный метод решения дает возможность в
общем виде выяснить свойства решения задачи в частных производ-
ных. Ограничением указанной схемы является отсутствие числового
значения критического времени.
ЛИТЕРАТУРА
1. Р о м а н о в К. И. Продольный изгиб нелинейно-вязких стержней // Расчеты
на прочность. Вып. 33. М.: Машиностроение, 1993. С. 139–151.
2. С т а н ю к о в и ч К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.:
Наука, 1971. 854 с.
3. Б р е б б и я К., У о к е р С. Применение метода граничных элементов в тех-
нике. М.: Мир, 1982. 248 с.
4. Р о м а н о в К. И. Статистическая постановка задачи устойчивости при ползу-
чести // Изв. РАН. МТТ. 2008. № 2. С. 134–139.
122
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 2
