4 / 6
где безразмерную постоянную скорость определяет параметр
β
. После
интегрирования уравнения (11) с учетом условия (13) была получена
следующая формула для функции
F
(
τ
)
:
F
(
τ
) =
−
1
2
ln(1 +
βτ
)
−
in
2
βτ
2
(1 +
βτ
)
2
,
(14)
которая определяет поправку
δ
E
n
(
τ
)
к энергии частицы
δE
n
(
τ
) =
=
E
1
n
2
βτ
(1 +
βτ
)
2
.
Анализ предельных значений функции
F
(
τ
)
.
Функция
Q
(
τ
)
не зависит от номера квантового состояния, а функция
F
(
τ
)
зави-
сит от номера квантового состояния квадратичным образом согласно
формуле (14). Поскольку функция
F
(
τ
)
является комплексной, про-
анализируем пределы вещественной и мнимой частей, в результате
получим
lim(
τ
→
0)
Re
F
(
τ
) = 0
,
lim(
τ
→ ∞
)
Re
F
(
∞
) =
−∞
;
lim(
τ
→
0)
Im
Im
F
(
τ
)
τ
= 0
,
lim(
τ
→ ∞
)
Im
Im
F
(
τ
)
τ
= 0
.
Изменение энергии частицы с момента начала движения стен-
ки ямы.
Энергия частицы вычисляется по формуле
E
n
=
E
1
n
η
2
+
δE
n
=
E
1
n
2
1 +
βτ
,
(15)
расстояние между соседними энергетическими уровнями — по форму-
ле
E
n
+1
−
E
n
=
E
1
1 +
βτ
(2
n
+ 1)
.
(16)
Из формулы (15) следует монотонное уменьшение этого расстояния по
мере увеличения расстояния между стенками. Из формул (15) и (16)
следует, что со временем энергетический спектр частицы преобразу-
ется в сплошной спектр, характерный для свободной частицы.
Анализ амплитуды волновой функции.
Согласно совместному
рассмотрению формул (4), (9), (10) и (14), установлено, что амплитуда
волновой функции при движении стенки с постоянной скоростью при-
обретает множитель вида
exp
−
1
2
ln(1 +
βτ
) =
1
(1 +
βτ
)
1
,
2
, обра-
щающий в ноль амплитуду волновой функции через бесконечно боль-
шой промежуток времени от начала движения стенки.
Выводы.
Поставлена и решена задача для движения квантовой
частицы в прямоугольной яме с непроницаемыми стенками, когда од-
на из стенок ямы движется с постоянной скоростью. Получено точное
решение нестационарного уравнения Шредингера в виде модифици-
рованной волновой функции стационарного уравнения Шредингера.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
43