Будем считать, что теплота, выделяемая при кристаллизации и под-
водимая за счет источника тока, передается в окружающее простран-
ство через боковуюповерхность. В этом случае уравнение теплового
баланса можно представить в виде
dQ
ф.п
dt
+
dQ
Дж.-Л
dt
=
dQ
бок
dt
,
(5)
где
dQ
ф
.
п
= 2
πLγζldζ
— теплота, выделяемая при фазовом переходе;
L
— удельная теплота плавления;
dQ
Дж
.
−
Л
=
j
2
ρ
L
πa
2
ldt
— теплота
Джоуля–Ленца;
dQ
бок
=
k
(
T
−
T
0
) 2
πal dt
— теплота, уносимая через
боковуюповерхность за счет теплоотдачи;
T
0
— температура окружа-
ющей среды. На основе (5) получаем дифференциальное уравнение
−
ζ
dζ
dt
=
B,
(6)
которое решается относительно координаты фронта кристаллизации
ζ
. Здесь
B
=
1
2
πlγL
(2
πalk
(
T
−
T
0
) +
j
2
ρ
L
πa
2
l
)
;
j
— плотность тока;
ρ
L
— удельное электросопротивление жидкой фазы при температу-
ре фазового перехода. Значение коэффициента
В
зависит от свойств
сплава, условий теплообмена и параметров внешнего воздействия.
Решением уравнения (6) является временная зависимость коорди-
наты фронта кристаллизации
ζ
=
√
a
2
−
2
Bt,
(7)
из которой определяется скорость движения фронта кристаллизации в
поперечном направлении
−
dζ
dt
=
B
√
a
2
−
2
Bt.
(8)
Так как рассматриваемый фронт кристаллизации движется от пери-
ферии к центру, то эквивалентная электрическая схема образца может
быть представлена параллельно включенными электрическими сопро-
тивлениями жидкой (
R
L
) и твердой (
R
S
) фаз металла:
R
L
=
ρ
L
l
S
ζ
=
ρ
L
l
πζ
2
=
ρ
L
l
π
(
a
2
−
2
Bt
)
;
R
S
=
ρ
S
l
S
a
−
ζ
=
ρ
S
l
π
(
a
2
−
ζ
2
)
=
ρ
S
l
2
πB t
.
Результирующее сопротивление
R
=
R
S
R
L
R
S
+
R
L
=
ρ
S
ρ
L
l
π
(
ρ
L
(
a
2
−
ζ
2
) +
ρ
S
ζ
2
)
.
70
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
