6 / 16
П.С. Селин, В.И. Цурков, А.А. Гурченков
48
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
В силу определения множества
( , )
T
A B
и упорядоченности координат век-
торов пары
( , )
A B
по невозрастанию
=
j
q
b b
:
j
1
,
q
j q
тогда
=
tq tq
c c
=
1 (
)(
) < 0,
q tq
q q b c t
q t
что противоречит условию леммы.
Докажем случай 2. Предположим
< ,
q tq
b c t
следовательно,
=1
>
<
t
i
j
q i
j q
a b
b
t
tq
и
=1
>
<
.
t
q
i
j
i
j q
b q a b
Таким образом,
1
=1
> 0,
t
m
i
j
i
j
a b
что противоречит условию
замкнутости.
Докажем пункт б леммы. Пусть
< .
q m
Для разности
tq tq
c c
имеем
=1
>
=1
>
=
t
t
i
j
i
j
i
j q
i
j q
tq tq
a b a b
c c
tq
tq
=1
>
>
(
)
1=
=
t
i
j
j
i
j q
j q
q q a q b q b
t
=1
>
= 1
(
)
(
)
1=
q
t
i
j
j
i
j q
j q
q q a q q b q b
t
=1
>
= 1
(
)
1=
=
q
t
i
j
j
i
j q
j q
q q a b q b
q
tq
= 1
= 1
(
)
1
1
=
=
(
).
q
j
q
tq
j q
tq
j
j q
b
c t q q
c t b
q
t
t
qt
Здесь в силу определения множества
( , )
T
A B
и упорядоченности координат
векторов пары
( , )
A B
по невозрастанию справедливо
1
=
j
q
b b
:
j
1
.
q j q
Поэтому
1
1= (
)(
).
tq tq
tq
q
c c
q q c t b
qt
►
Предположим, что
1
< .
tq
q
c t b
Тогда
< (
)
tq tq
tq tq
q q
c c
c c
q
и
(
) <
tq tq
q
c c
q
0,
что противоречит условию леммы 2.
Пусть
1
= .
tq
q
c t b
Тогда
(
) = 0,
tq tq
q
c c
q
что справедливо тогда и только то-
гда, когда
= .
tq tq
c c
Из лемм 1 и 2 следует теорема 4 [3–5].
Теорема 4.
Пусть
,
,=
( , )
.
n m
A B
Для минимакса
( , )
c
A B
имеет место
=1
>
( , ) ( , )
.
max
( , ) =
t
i
j
i
j r
t r T
a b
c
tr
A B
A B
(7)