V
= ( ˙
x
−
h
−
1
Cx
)
т
( ˙
x
−
h
−
1
Cx
) +
x
т
(
G
т
K
−
1
G
−
h
−
2
C
т
C
)
x,
(4)
где
C
=
GK
−
1
−
(
K
+
F
)
G
−
1
.
Для сокращения записи в выражении (4) далее опустим зависи-
мость матриц от переменной
t
. Поскольку матрицы, входящие в систе-
му (1), являются матрицами Ляпунова, то таковой является и матрица
С
. Существуют постоянные
g
0
>
0
,
c
0
>
0
такие, что выполняются
неравенства
x
т
G
т
K
−
1
Gx
≥
g
0
x
т
x, x
т
C
т
Cx
≤
c
0
x
т
x,
(5)
откуда следует, что
x
т
(
G
т
K
−
1
G
−
h
−
2
C
т
C
)
x
≥
x
т
(
g
0
−
h
−
2
c
0
)
x
.
Тогда условием положительной определенности функции (4) явля-
ется неравенство
h >
c
0
g
0
.
(6)
Производная по времени
˙
V
, вычисленная в силу системы (1) и
взятая с обратным знаком, может быть приведена к виду
−
˙
V
= ˙
x
т
2
B
+
h
−
1
(
C
+
C
т
) ˙
x
+
+
x
т
h
−
1
S
−
( ˙
G
т
K
−
1
G
+
G
т
˙
K
−
1
G
+
G
т
K
−
1
˙
G
)
x
−
−
2
h
−
1
x
т
(
CB
−
˙
C
) ˙
x,
(7)
где
S
=
G
т
K
−
1
F
+
F
т
K
−
1
G
.
Предположим, что для квадратичной формы
x
т
Sx
выполнен обоб-
щенный критерий Сильвестра, т.е. существует постоянная
μ >
0
, та-
кая, что выполнено неравенство
x
т
Sx
≥
μx
т
x
. Тогда существует по-
стоянная
ρ
≥
0
такая, что имеет место неравенство
˙
x
т
(
С
+
С
E
) ˙
x
≥ −
ρ
˙
x
т
˙
x.
(8)
Изформулы (7) следует, что для положительной определенности функ-
ции -
˙
V
необходимо, чтобы квадратичная форма
x
т
h
−
1
S
−
( ˙
G
т
K
−
1
G
+
G
т
˙
K
−
1
G
+
G
т
K
−
1
˙
G
)
x
удовлетворяла обобщенному критерию Сильвестра. Поскольку матри-
цы
G, K
являются матрицами Ляпунова, то
G,
˙
G,
˙
K
−
1
ограничены,
т.е.
sup
G <
∞
,
sup ˙
G <
∞
,
sup ˙
K
−
1
<
∞
при
t
≥
t
0
. Отсюда
следует, что существует постоянная
g
≥
0
такая, что
x
т
( ˙
G
т
K
−
1
G
+
G
т
K
−
1
G
+
G
т
K
−
1
˙
G
)
x
≤
gx
т
x.
(9)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
17
