Принимая во внимание неравенства (7)–(9), получаем
−
˙
V
≥
(2
b
−
h
−
1
p
) ˙
x
т
˙
x
+ (
h
−
1
μ
−
g
)
x
т
x
−
2
h
−
1
x
т
(
CB
−
˙
C
) ˙
x,
(10)
где
b >
0
;
˙
x
т
B
˙
x
≥
b
˙
x
т
˙
x
.
Для отрицательной определенности
˙
V
необходимо, чтобы были
выполнены неравенства
2
b
−
h
−
1
p >
0
, h
−
1
μ
−
g >
0
.
(11)
Предполагая, что неравенства (11) выполнены, правую часть неравен-
ства (10) записываем в виде
(2
b
−
h
−
1
p
) ˙
x
т
˙
x
+ (
h
−
1
μ
−
g
)
x
т
x
−
2
h
−
1
x
т
(
CB
−
˙
C
) ˙
x
=
=
M
1
/
2
˙
x
+
1
2
M
−
1
/
2
Q
т
x
т
M
1
/
2
˙
x
+
1
2
M
−
1
/
2
Q
т
x
т
+
+
x
т
{
(
h
−
1
μ
−
g
)
E
} −
h
2
(
CB
−
˙
C
)(
BC
т
−
˙
C
т
)
2
b
−
h
−
1
p
,
(12)
где
M
= (2
b
−
h
−
1
p
)
E
,
Q
=
−
2
h
−
1
(
CB
−
˙
C
)
,
E
— единичная ма-
трица. Так как
С
и
B
являются матрицами Ляпунова, то существует
постоянная
q >
0
такая, что выполнено неравенство
x
т
(
CB
−
˙
C
)(
BC
т
−
˙
C
т
)
x
≤
qx
т
x.
(13)
Изнеравенства (10) с учетом (12), а также неравенства (13) условие
отрицательной определенности функции
˙
V
приводится к виду
f
(
h
)
≡
(2
b
−
h
−
1
p
)(
h
−
1
μ
−
g
)
−
h
−
2
q >
0
.
(14)
Отметим, что извыполнения первого неравенства (11) и неравен-
ства (14) следует второе неравенство (11). При выполнении неравенств
(6) и (14) невозмущенное движение (3) асимптотически устойчиво.
Полученный результат сформулируем в виде теоремы.
Теорема
.
Пусть в системе
(1)
матрицы
B
(
t
)
,
G
(
t
)
,
K
(
t
)
и
F
(
t
)
являются матрицами Ляпунова и выполнены следующие условия
:
1)
матрица
S
(
t
) =
G
т
(
t
)
K
−
1
(
t
)
F
(
t
) +
F
т
(
t
)
K
−
1
(
t
)
G
удовлетворяет
обобщенному критерию Сильвестра;
2)
параметр
h >
0
принадлежит интервалу
h
1
< h < h
2
,
если
h
1
>
C
0
g
0
,
где
h
1
и
h
2
(
h
2
> h
1
) — корни уравнения
f
(
h
) = 0
. Тогда
невозмущенное движение
(3)
асимптотически устойчиво.
Отметим важное обстоятельство. Зависимость элементов матрицы
G
(
t
)
от времени приводит к ограничению сверху на параметр
h
, что
качественно отличает суждение об устойчивости исходной нестацио-
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
