Устойчивость по Якоби нелинейного двойного маятника и его траектории в конфигурационном пространстве

Аннотация

Рассмотрены задачи анализа устойчивости по Якоби динамической системы --- нелинейного двойного маятника. На основе теории Косамби --- Картана --- Черна введено геометрическое описание эволюции системы во времени, что позволяет определить пять геометрических инвариантов. Собственные значения второго инварианта, называемого тензором кривизны отклонения, дают оценку устойчивости системы по Якоби. Подобное исследование актуально в приложениях, где требуется идентифицировать области, в которых имеют место одновременно устойчивость по Ляпунову и устойчивость по Якоби. Исследованы особенности эволюции во времени системы, состоящей из соединенных последовательно двух одинаковых математических маятников. Представлена зависимость собственных значений тензора кривизны отклонения от начальных условий. При интегрировании нелинейных дифференциальных уравнений движения использована вычислительная среда MATLAB. Определена зависимость характера поведения системы --- регулярное движение или глобальный хаос --- от начальных условий. Регулярное или хаотическое поведение системы, представленное в конфигурационном пространстве, характеризуется изменением обобщенных координат и собственных значений тензора кривизны отклонения. Приведены примеры видов траекторий системы в конфигурационном пространстве в зависимости от начальных условий. Показана эффективность реализованного подхода для определения устойчивости системы по Якоби

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Шкапов П.М., Сулимов В.Д., Данич М.А. Устойчивость по Якоби нелинейного двойного маятника и его траектории в конфигурационном пространстве. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2024, № 4 (115), с. 21--34. EDN: UPBGEX

Литература

[1] Hafstein S.F., Valfells A. Efficient computation of Lyapunov functions for nonlinear systems by integrating numerical solutions. Nonlinear Dyn., 2019, vol. 97, no. 3, pp. 1895--1910. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-018-4729-5

[2] Abolghasem H. Liapunov stability versus Jacobi stability. JDSGT, 2012, vol. 10, iss. 1, pp. 13--32. DOI: https://doi.org/10.1080/1726037X.2012.10698604

[3] Bohmer C.G., Harko T., Sabau S.V. Jacobi stability analysis of dynamical systems --- applications in gravitation and cosmology. Adv. Theor. Math. Phys., 2012, vol. 16, no. 4, pp. 1145--1196. DOI: https://dx.doi.org/10.4310/ATMP.2012.v16.n4.a2

[4] Harko T., Pantaragphong P., Sabau S.V. Kosambi --- Cartan --- Chern (KCC) theory for higher order dynamical systems. Int. J. Geom. Methods Mod. Phys., 2016, vol. 13, no. 2, art. 1650014. DOI: https://doi.org/10.1142/S0219887816500146

[5] Lorenz E.I. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci., 1963, vol. 20, no. 2, pp. 130--141. DOI: https://doi.org/10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2

[6] Cattani M., Caldas I.L., de Souza S.L., et al. Deterministic chaos theory: basic concepts. Rev. Bras. de Ensino de Fis., 2017, vol. 39, no. 1, art. e1309. DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0185

[7] Velarde C., Robledo A. Manifestations of the onset of chaos in condensed matter and complex systems. Eur. Phys. J. Spec. Top., 2018, vol. 227, no. 5-6, pp. 645--660. DOI: https://doi.org/10.1140/epjst/e2018-00128-9

[8] Wang F., Liu T., Kuznetsov N.V., et al. Jacobi stability analysis and the onset of chaos in a two-degree-of-freedom mechanical system. Int. J. Bifurcat. Chaos, 2021, vol. 31, no. 5, art. 2150075. DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127421500759

[9] Levien R.B., Tan S.M. Double pendulum: an experiment in chaos. Am. J. Phys., 1993, vol. 61, iss. 11, pp. 1038--1044. DOI: https://doi.org/10.1119/1.17335

[10] Liang Y., Feeny B.F. Parametric identification of a chaotic base-excited double pendulum experiment. Nonlinear Dyn., 2008, vol. 52, no. 1-2, pp. 181--197. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-007-9270-x

[11] Fuentes M.A., Sato Y., Tsallis C. Sensitivity to initial conditions, entropy production, and escape rate at the onset of chaos. Phys. Lett. A, 2011, vol. 375, iss. 33, pp. 2988--2991. DOI: https://doi.org/10.1016/j.physleta.2011.06.039

[12] Yao Y. Numerical study on the influence of initial conditions on quasi-periodic oscillation of double pendulum system. J. Phys.: Conf. Ser., 2020, vol. 1437, art. 012093. DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1437/1/012093

[13] Watson P.A.G. Applying machine learning to improve simulations of a chaotic dynamical system using empirical error correction. JAMES, 2019, vol. 11, iss. 5, pp. 1402--1417. DOI: https://doi.org/10.1029/2018MS001597

[14] D’Alessio S. An analytical, numerical and experimental study of the double pendulum. Eur. J. Phys., 2023, vol. 44, no. 1, art. 015002. DOI: https://doi.org/10.1088/1361-6404/ac986b

[15] Oiwa S., Yajima T. Jacobi stability analysis and chaotic behavior of nonlinear double pendulum. Int. J. Geom. Methods Mod. Phys., 2017, vol. 14, no. 12, art. 1750176. DOI: https://doi.org/10.1142/S0219887817501766

[16] Monteanu F., Grin A., Musafirov E., et al. About the Jacobi stability of a generalized Hopf --- Langford system through the Kosambi --- Cartan --- Chern geometric theory. Symmetry, 2023, vol. 15, no. 3, art. 598. DOI: https://doi.org/10.3390/sym15030598

[17] Ye K., Hu S. Inverse eigenvalue problem for tensors. Commun. Math. Sci., 2017, vol. 15, no. 6, pp. 1627--1649. DOI: https://dx.doi.org/10.4310/CMS.2017.v15.n6.a7

[18] Sulimov V.D., Shkapov P.M., Sulimov A.V. Jacobi stability and updating parameters of dynamical systems using hybrid algorithms. IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng., 2018, vol. 468, art. 012040. DOI: https://doi.org/10.1088/1757-899X/468/1/012040

[19] Шкапов П.М., Сулимов А.В., Сулимов В.Д. Вычислительная диагностика неустойчивых по Якоби динамических систем с использованием гибридных алгоритмов глобальной оптимизации. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2021, № 4 (97), c. 40--56. DOI: http://dx.doi.org/10.18698/1812-3368-2021-4-40-56

[20] Сулимов А.В. Анализ устойчивости по Якоби и восстановление параметров двойного маятника с демпфированием. Инженерный журнал: наука и инновации, 2023, № 7. DOI: http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2023-7-2287