P
гр
=
gρ
гр
(
h
+ 0
,
5
D
)
, где
g
— ускорение свободного падения;
ρ
гр
— плот-
ность грунта;
h
— глубина трубы по верхней образующей. Вводя также
коэффициент трения
k
, можно записать выражение для реакции грунта
q
z
=
−
kgρ
гр
(
h
+ 0
,
5
D
) (
w
−
w
гр
) ;
|
q
z
|
6
q
пр
.
(4)
Реакция грунта
q
z
не является постоянной вдоль трубопровода, поэтому
ее следует рассматривать как некоторую функцию
q
z
(
z
)
, явный вид кото-
рой остается неизвестным до решения задачи, так как включает искомую
величину
w
.
Для решения дифференциального уравнения (3) кроме сил
q
z
(
z
)
требу-
ются начальные и граничные условия, которые можно задать так:
— начальное условие
w
(
z
) = 0
(до сдвига грунта трубопровод находился
в исходном положении, которое берем за нуль);
— граничные условия
w
z
→±∞
= 0
(вдали от участка сдвига
АВ
трубо-
провод находится в исходном положении).
Силу
q
z
(
z
)
можно задавать в виде кусочно-постоянных или кусочно-
линейных функций; тогда решение уравнения (3) будет кусочно-непрерывным.
Исследуем характер решения в пределах каждого участка, задавая разные
области зависимости
q
z
(
z
)
.
Участок 1
(
q
z
(
z
) =
const
=
S
).
Уравнение (3) принимает вид
d
2
w
dz
2
=
−
S
Eδ
т
,
и его решение
w
(
z
) =
S
2
Eδ
т
z
2
+
C
1
z
+
C
2
.
Постоянные интегрирования
С
1
и
С
2
определяются из граничных условий.
Участок 2
(
q
z
(
z
) =
Sz
).
Уравнение (3) принимает вид
d
2
w
dz
2
=
−
S
Eδ
т
z,
и его решение
w
(
z
) =
S
6
Eδ
т
z
3
+
C
1
z
+
C
2
.
Участок 3
(
q
z
(
z
) =
S
1
z
+
S
2
).
Уравнение (3) принимает вид
d
2
w
dz
2
=
−
S
1
z
+
S
2
Eδ
т
,
и его решение
w
(
z
) =
S
1
6
Eδ
т
z
3
+
S
2
2
Eδ
т
z
2
+
C
1
z
+
C
2
.
Для решения задачи необходимо задать не функции
q
z
(
w
)
(см. рис. 3), а
q
z
(
z
)
, но для перехода от
q
z
(
w
)
к
q
z
(
z
)
необходимо знать зависимость
w
(
z
)
,
которая остается неизвестной, пока не решим задачу в целом. Воспользуемся
для этого методом последовательных приближений и численного расчета [3].
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
113
