Рис. 4. Конечно-разностная сетка с обозначением узлов и величин
Для численного решения использован метод конечных разностей. Заме-
ним в решаемом дифференциальном уравнении все производные на конечно-
разностные выражения. Так, из уравнения (3) получим выражение для пере-
мещения центрального (в трехэлементной системе) узла с номером
i
:
d
2
w
dz
2
=
−
q
(
z
)
Eδ
т
;
w
i
−
1
−
2
w
i
+
w
i
+1
h
2
=
−
q
i
Eδ
т
;
w
i
=
1
2
w
i
−
1
+
w
i
+1
+
q
i
h
2
δ
т
E
.
(5)
Здесь
w
i
−
1
,
w
i
,
w
i
+1
— значения продольного смещения трубы в узловых
точках, обозначенных индексами
i
−
1
,
i
,
i
+ 1
соответственно;
h
— шаг
конечно-разностной сетки (рис. 4).
Формула (5) выражает условие локального равновесия узла
i
при задан-
ных положениях других узлов. Применяя это выражение последовательно
ко всем узлам конечно-разностной сетки (метод итераций), получаем первое
приближение к искомому решению. Повторив многократно эту процедуру,
получим 2-е, 3-е,. . . ,
n
-е приближения. Прекращение цикла вычислений осу-
ществляется когда последующее приближение отличается от предыдущего
на малую (заданную) величину.
Такой подход к решению имеет ряд преимуществ. Во-первых, он прост
для программной реализации. Во-вторых, по ходу решения можно коррек-
тировать действующие силы, которые зависят от искомого смещения трубы
w
(5).
Рассмотрим следующий
пример
. На участке
АВ
трубопровода диаме-
тром
D
с толщиной стенки
δ
т
произошел сдвиг грунта в продольном на-
правлении (рис. 5). Необходимо определить напряженно-деформированное
состояние трубопровода на участке
АВ
и в его окрестностях.
Получим решение, используя выражение (5). Для этого разобьем участок
трубопровода конечно-разностной сеткой с шагом
h
. Поскольку возмущен-
ное напряженное состояние распространится и за пределы участка
АВ
, в
расчетной модели рассмотрим общую длину
L
, значительно превосходящую
протяженность участка
А
B
. Обозначим начало и конец расчетной части тру-
бопровода соответственно
Н
и
K
(рис. 5).
Разработанная для решения этой задачи расчетная программа имеет сле-
дующий алгоритм.
1. Формируется массив
W
(
i
)
для описания продольных смещений уз-
лов
w
i
в расчетном участке трубопровода. Если выбрать размер сетки
114
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
