Постановка задачи.
Рассмотрим стационарное поле
X
ij
,
i, j
=
= 0
,
±
1
,
±
2
, . . .
на плоской целочисленной решетке, описываемой
уравнением пространственной авторегрессии порядка
(1
,
1)
:
X
ij
=
a
10
X
i
−
1
,j
+
a
01
X
i,j
−
1
+
a
11
X
i
−
1
,j
−
1
+
ε
ij
, i, j
= 0
,
±
1
,
±
2
, . . .
(1)
где
ε
ij
— независимые одинаково распределенные случайные величи-
ны с неизвестной функцией распределения
F
(
x
)
;
a
= (
a
10
, a
01
, a
11
)
—
неизвестный вектор параметров авторегрессионной модели.
Проверим по наблюдениям
X
ij
,
i
= 0
, . . . m, j
= 0
, . . . , n
, гипотезу
H
0
о независимости наблюдений в (1), т.е.
H
0
:
a
= 0
.
В качестве альтернативы будем рассматривать гипотезы
H
+
pq
и
H
−
pq
о
том, что координата
a
pq
вектора
a
отлична от нуля, т.е. для любых
(
p, q
)
2
B
=
{
(1
,
0)
,
(0
,
1)
,
(1
,
1)
}
H
+
pq
:
a
pq
>
0
, a
kl
= 0
для любых
(
k, l
)
6
= (
p, q
)
,
H
−
pq
:
a
pq
<
0
, a
kl
= 0
для любых
(
k, l
)
6
= (
p, q
)
.
Мы будем строить критерии, основанные не на самих наблюдени-
ях, а на их знаках, точнее на матрице
S
, состоящей из элементов
S
ij
= sign(
X
ij
)
, i
= 1
,
2
, . . . , m, j
= 1
,
2
, . . . , n,
где
sign(
x
) =
(
−
1
,
если
x <
0
,
1
,
если
x
≥
0
.
Обозначим
Q
критическую область знакового критерия, т.е. такое
подмножество множества
S
матриц размера
m
×
n
с элементами из
−
1
и
1
, что при
S
2
Q
гипотеза
H
0
отклоняется. Тогда функция мощности
P
(
a, Q
)
этого критерия имеет вид
P
(
a, Q
) =
X
s
2
Q
P
{
S
=
s
|
a
}
,
где
P
{
S
=
s
|
a
}
— вероятность события
{
S
=
s
}
при альтернативе
a
.
Для проверки
H
0
против
H
+
pq
и
H
−
pq
мы будем строить локально
наиболее мощные знаковые критерии, т.е. критерии, функции мощно-
сти
P
(
a, Q
)
которых наиболее круто изменяются в направлении
a
pq
в
окрестности нуля. Другими словами,
Q
выбирается так, чтобы
∂P
(
a, Q
)
∂a
pq a
=0
=
X
s
2
Q
∂
P
{
S
=
s
|
a
}
∂a
pq
была максимальной при
H
+
pq
и минимальной при
H
−
pq
.
116
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
